Question

【題目】已知拋物線y=x2+4x+m（m為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)（0，4）
（1）求m的值；
（2）將該拋物線先向右、再向下平移得到另一條拋物線．已知這條平移后的拋物線滿足下述兩個(gè)條件：它的對稱軸（設(shè)為直線l2）與平移前的拋物線的對稱軸（設(shè)為l1）關(guān)于y軸對稱；它所對應(yīng)的函數(shù)的最小值為﹣8．
①試求平移后的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
②試問在平移后的拋物線上是否存在著點(diǎn)P，使得以3為半徑的⊙P既與x軸相切，又與直線l2相交？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出直線l2被⊙P所截得的弦AB的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題意得：02+4×0+m=4，解得m=4

（2）

解：①由（1）得：y=x2+4x+4=（x+2）2，

∴對稱軸為直線l1：x=﹣2

依題意得平移后的拋物線的對稱軸為直線l2：x=2

故設(shè)平移后的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=（x﹣2）2+k

∵此函數(shù)最小值為﹣8，

∴k=﹣8

即平移后的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=（x﹣2）2﹣8=x2﹣4x﹣4

②存在．理由如下：

由①知平移后的拋物線的對稱軸為直線l2：x=2

當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，∵⊙P與x軸相切，

∴令y=x2﹣4x﹣4=3，

解得x=2±

∵此時(shí)點(diǎn)P1（2+ ，3），P2（2﹣ ，3）與直線x=2之距均為 ，

∴點(diǎn)P1、P2不合題意，應(yīng)舍去．

當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，

∵⊙P與x軸相切，

∴令y=x2﹣4x﹣4=﹣3，

解得x=2± （10分）

此時(shí)點(diǎn)P3（2+ ，﹣3），P4（2﹣ ，﹣3）與直線x=2之距均為 ，

∵ ＜3，⊙P3、⊙P4均與直線l2：x=2相交，

∴點(diǎn)P3、P4符合題意．

此時(shí)弦AB=2×

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+ ，﹣3）或（2﹣ ，﹣3），

直線l2被⊙P所截得的弦AB的長為4．

【解析】（1）將（0，4）代入拋物線，得：02+4×0+m=4，解得m=4；（2）①根據(jù)（1）求出的拋物線，可知其對稱軸，平移后的拋物線的對稱軸與平移前的對稱軸關(guān)于y軸對稱，即可求出新拋物線對稱軸，再根據(jù)第二個(gè)條件，最小值為﹣8，即可求出平移后的拋物線的關(guān)系式；②該題需要分情況討論，假設(shè)p點(diǎn)存在，且p在x軸上方，根據(jù)題意可知，p的縱坐標(biāo)是3，代入關(guān)系式求解，求出p點(diǎn)坐標(biāo)，在驗(yàn)證該點(diǎn)是否在直線上；若p在y軸下方，則p的縱坐標(biāo)是﹣3，代入關(guān)系式，求出坐標(biāo)，再進(jìn)行檢驗(yàn)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�