Question

【題目】如圖，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB，BD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接ED，DG．

（1）請(qǐng)判斷四邊形EBGD的形狀，并說明理由；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2 ，點(diǎn)H是BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求HG+HC的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：四邊形EBGD是菱形．

理由：∵EG垂直平分BD，

∴EB=ED，GB=GD，

∴∠EBD=∠EDB，

∵∠EBD=∠DBC，

∴∠EDF=∠GBF，

在△EFD和△GFB中，

，

∴△EFD≌△GFB，

∴ED=BG，

∴BE=ED=DG=GB，

∴四邊形EBGD是菱形

（2）

解：作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連接EC交BD于點(diǎn)H，此時(shí)HG+HC最小，

在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2 ，

∴EM= BE= ，

∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，

∴EM∥DN，EM=DN= ，MN=DE=2 ，

在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，

∴∠NDC=∠NCD=45°，

∴DN=NC= ，

∴MC=3 ，

在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM= ．MC=3 ，

∴EC= = =10 ．

∵HG+HC=EH+HC=EC，

∴HG+HC的最小值為10

【解析】（1）結(jié)論四邊形EBGD是菱形．只要證明BE=ED=DG=GB即可．（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連接EC交BD于點(diǎn)H，此時(shí)HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解決問題．本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱找到點(diǎn)H的位置，屬于中考�？碱}型．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用角平分線的性質(zhì)定理和平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握定理1：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 定理2：一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上；若一直線過平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．