Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上，過點C的切線交BA的延長線于點D，CD=CB，CE∥AB交半圓于點E．

（1）求∠D的度數；

（2）求證：以點C，O，B，E為頂點的四邊形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）∠D=30°；（2）見解析.

【解析】

（1）連接AC，根據切線的性質以及等腰三角形的性質得出∠D=∠ACD=∠ABC，根據圓周角定理得出∠ACB=90°，然后根據三角形內角和定理即可求得∠D的度數；

（2）連接OC、BE，先證得△AOC是等邊三角形，然后證得四邊形COBE是平行四邊形即可證得結論．

（1）解：連接AC，

∵CD是⊙O的切線，

∴∠ACD=∠ABC，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∵CD=CB，

∴∠D=∠ABC，

∴∠D=∠ACD=∠ABC，

∵∠D+∠ACD+∠ABC+∠ACB=90°，

∴∠D=30°；

（2）證明：連接OC、BE，

∵∠D=∠ACD=30°，

∴∠CAB=60°，

∵OA=OC，

∴△AOC是等邊三角形，

∴AC=OC，∠AOC=60°，

∵CE∥AB，

∴AC=EB，

∴四邊形ACEB是等腰梯形，OC=BE，

∴∠CAB=∠EBA=60°，

∴∠AOC=∠EBA=60°，

∴OC∥BE，

∴四邊形COBE是平行四邊形，

∵OC=OB，

∴以點C，O，B，E為頂點的四邊形是菱形．