Question

13．如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE，BE，DE，過點(diǎn)A作AE的垂線交DE于P，若AE=AP
（1）求證：△ABE≌△ADP；
（2）求證：BE⊥DE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等即可判定．
（2）由△ABE≌△ADP得∠APD=∠AEB，再由∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，可以證明∠BEP=∠PAE=90°由此即可證明．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AE⊥AP，
∴∠EAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
在△ABE和△ADP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AP}\\{∠EAB=∠PAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADP；
（2）證明：∵△ABE≌△ADP，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，∠AEP=∠APE=45°
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴BE⊥DE；

點(diǎn)評 本題考查正方形性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，熟練應(yīng)用全等三角形性質(zhì)，屬于中考�？碱}型．