Question

如圖，AD是△ABC的中線，F(xiàn)是AC上一點．且CF=2AF，連接BF交AD于點E．求證：BE=3EF．

Answer 1

考點：平行線分線段成比例

專題：證明題

分析：首先過點D作DG∥BF，交AC于G，作DH∥AC，交BF于點H，再根據(jù)平行線分線段成比例定理可得

FG

FC

=

BD

BC

=

1

2

，然后證明△EHD≌△EFA可得HE=EF，進而得到BE=3EF．

解答：證明：過點D作DG∥BF，交AC于G，作DH∥AC，交BF于點H，
∵DH∥AC，DG∥BF，
∴四邊形HDGF是平行四邊形，
∴HD=FG，DG=HF，
∵AD是△ABC的中線，
∴DB=DC=

1

2

BC，DH=

1

2

FC，
∵DH∥FC，D為BC中點，
∴BH=HF，
∵DG∥BF，
∴

FG

FC

=

BD

BC

=

1

2

，
∴G為BF中點，
∴DG是△BFC的中位線，
∴FC=2GC=2FG=2HD，
∵CF=2AF，
∴HD=AF，
在△EHD和△EFA中

∠DHE=∠AFE ∠DEH=∠AEF DH=AF

，
∴△EHD≌△EFA（AAS），
∴HE=EF，
∴BE=3EF．

點評：此題主要考查了平行線分線段成比例定理，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是證明△EHD≌△EFA．