Question

如圖，在△ABC中，∠A+∠B=2∠ACB，BC=8，D為AB的中點，且CD=，求AC的長．

Answer 1

解：如圖，取BC的中點F，連接DF，過點D作DE⊥BC于E，
∵∠A+∠B=2∠ACB，
∴∠ACB+2∠ACB=180°，
∴∠ACB=60°，
∵BC=8，
∴BF=FC=4，
∵D為AB的中點，
∴DF是△ABC的中位線，
∴DF∥AC且AC=2DF，
∴∠DFE=∠ACB=60°，
設EF=x，則DE=x，
EC=x+4，
在Rt△CDE中，DE²+EC²=CD²，
即（x）²+（x+4）²=（）²，
解得x=，x=-（舍去），
∴DF=2EF=2x=2×=，
AC=2DF=2×=3．
分析：取BC的中點F，連接DF，過點D作DE⊥BC于E，根據三角形的內角和定理求出∠ACB=60°，根據中點定義求出BF=FC=4，根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DF∥AC且AC=2DF，再根據兩直線平行，同位角相等求出∠DFE=∠ACB，設EF=x，表示出DE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求出x的值，再求出DF、AC即可．
點評：本題考查了勾股定理，三角形的中位線定理，平行線的性質，作輔助線構造出直角三角形并利用勾股定理列出方程是解題的關鍵．