Question

如圖，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，點(diǎn)B，C，D在一條直線上，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①tan∠AEC=；②S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及△ABC∽△CDE的對應(yīng)邊成比例知，==；然后由直角三角形中的正切函數(shù)，得tan∠AEC=，再由等量代換求得tan∠AEC=；
②由三角形的面積公式、梯形的面積公式及不等式的基本性質(zhì)a²+b²≥2ab（a=b時取等號）解答；
③、④通過作輔助線MN，構(gòu)建直角梯形的中位線，根據(jù)梯形的中位線定理及等腰直角三角形的判定定理解答．
解答：解：∵△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，
∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACE=90°；
∵△ABC∽△CDE
∴==
①∴tan∠AEC=，
∴tan∠AEC=；故本選項正確；
②∵S_△ABC=a²，S_△CDE=b²，S_梯形ABDE=（a+b）²，
∴S_△ACE=S_梯形ABDE-S_△ABC-S_△CDE=ab，
S_△ABC+S_△CDE=（a²+b²）≥ab（a=b時取等號），
∴S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE；故本選項正確；
④過點(diǎn)M作MN垂直于BD，垂足為N．
∵點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，
則MN為梯形中位線，
∴N為中點(diǎn)，
∴△BMD為等腰三角形，
∴BM=DM；故本選項正確；
③又MN=（AB+ED）=（BC+CD），
∴∠BMD=90°，
即BM⊥DM；故本選項正確．
故選D．
點(diǎn)評：本題綜合考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、梯形的中位線定理、銳角三角函數(shù)的定義等知識點(diǎn)．在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．