Question

（2005•煙臺）（1）如圖1，以△ABC的邊AB、AC為邊分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，試判斷△ABC與△AEG面積之間的關(guān)系，并說明理由．
（2）園林小路，曲徑通幽，如圖2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石鋪成．已知中間的所有正方形的面積之和是a平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是b平方米，這條小路一共占地多少平方米．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點(diǎn)C作CM⊥AB于M，過點(diǎn)G作GN⊥EA交EA延長線于N，得出△ABC與△AEG的兩條高，由正方形的特殊性證明△ACM≌△AGN，是判斷△ABC與△AEG面積之間的關(guān)系的關(guān)鍵；
（2）同（1）道理知外圈的所有三角形的面積之和等于內(nèi)圈的所有三角形的面積之和，求出這條小路一共占地多少平方米．
解答：解：（1）△ABC與△AEG面積相等．
理由：過點(diǎn)C作CM⊥AB于M，過點(diǎn)G作GN⊥EA交EA延長線于N，則∠AMC=∠ANG=90°，
∵四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，
∴∠BAE=∠CAG=90°，AB=AE，AC=AG，
∵∠BAE+∠CAG+∠BAC+∠EAG=360°，
∴∠BAC+∠EAG=180°，
∵∠EAG+∠GAN=180°，
∴∠BAC=∠GAN，
在△ACM和△AGN中，
，
∴△ACM≌△AGN，
∴CM=GN，
∵S_△ABC=AB•CM，S_△AEG=AE•GN，
∴S_△ABC=S_△AEG，

（2）由（1）知外圈的所有三角形的面積之和等于內(nèi)圈的所有三角形的面積之和．
∴這條小路的面積為（a+2b）平方米．
點(diǎn)評：本題要利用正方形的特殊性，巧妙地借助兩個(gè)三角形全等，尋找三角形面積之間的等量關(guān)系，解決問題．由正方形的特殊性證明△ACM≌△AGN，是判斷△ABC與△AEG面積之間的關(guān)系的關(guān)鍵．