Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)C為邊AB的中點(diǎn)，正方形OBDE的頂點(diǎn)E在x軸的正半軸上，連接CO，CD，CE．
（1）線段OC的長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{17}}{2}$；
（2）求證：△CBD≌△COE；
（3）將正方形OBDE沿x軸正方向平移得到正方形O₁B₁D₁E₁，其中點(diǎn)O，B，D，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)O₁，B₁，D₁，E₁，連接CD₁，CE₁，設(shè)點(diǎn)E₁的坐標(biāo)為（a，0），其中a≠2，△CD₁E₁的面積為S．
①當(dāng)1＜a＜2時(shí)，請(qǐng)直接寫出S與a之間的函數(shù)表達(dá)式；
②在平移過(guò)程中，當(dāng)S=$\frac{1}{4}$時(shí)，請(qǐng)直接寫出a的值．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），利用勾股定理即可求得AB的長(zhǎng)，然后由點(diǎn)C為邊AB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可求得線段OC的長(zhǎng)；
（2）由四邊形OBDE是正方形，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，易得BD=OE，BC=OC，∠CBD=∠COE，即可證得：△CBD≌△COE；
（3）①首先根據(jù)題意畫出圖形，然后過(guò)點(diǎn)C作CH⊥D₁E₁于點(diǎn)H，可求得△CD₁E₁的高與底，繼而求得答案；
②分別從1＜a＜2與a＞2去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），
∴OA=4，OB=1，
∵∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∵點(diǎn)C為邊AB的中點(diǎn)，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{17}}{2}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{17}}{2}$．

（2）證明：∵∠AOB=90°，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，
∴OC=BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠CBO=∠COB，
∵四邊形OBDE是正方形，
∴BD=OE，∠DBO=∠EOB=90°，
∴∠CBD=∠COE，
在△CBD和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CO}\\{∠CBD=∠COE}\\{BD=OE}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△COE（SAS）；

（3）①解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥D₁E₁于點(diǎn)H，
∵C是AB邊的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（2，$\frac{1}{2}$）
∵點(diǎn)E₁的坐標(biāo)為（a，0），1＜a＜2，
∴CH=2-a，
∴S=$\frac{1}{2}$D₁E₁•CH=$\frac{1}{2}$×1×（2-a）=-$\frac{1}{2}$a+1；

②當(dāng)1＜a＜2時(shí)，S=-$\frac{1}{2}$a+1=$\frac{1}{4}$，
解得：a=$\frac{3}{2}$；
當(dāng)a＞2時(shí)，同理：CH=a-2，
∴S=$\frac{1}{2}$D₁E₁•CH=$\frac{1}{2}$×1×（a-2）=$\frac{1}{2}$a-1，
∴S=$\frac{1}{2}$a-1=$\frac{1}{4}$，
解得：a=$\frac{5}{2}$，
綜上可得：當(dāng)S=$\frac{1}{4}$時(shí)，a=$\frac{3}{2}$或$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積問(wèn)題．注意掌握輔助線的作法，注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．