Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0）、B兩點， 與y軸交于點C（0，2）， 拋物線的對稱軸交x軸于點D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求sin∠ABC的值；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形，如果存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

（4）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當(dāng)點E運動到什么位置時線段EF最長？求出此時E點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）解析式為；

（2）；

（3）存在，點P的坐標(biāo)為（， ）、（，4）或（，－）．

（4）當(dāng)點E坐標(biāo)為（2，1）時，線段EF最長．

【解析】試題分析: （1）把A（-1，0），C（0，2）代入y=-x2+bx+c列方程組即可．

（2）令y=0，求出x的值，可確定點B的坐標(biāo)，然后由點B、C的坐標(biāo)，利用勾股定理可求出BC的長，即可求sin∠ABC的值；

（3）由勾股定理求出CD的值，再以點C為圓心，CD為半徑作弧交對稱軸于P1，以點D為圓心CD為半徑作圓交對稱軸于點P2，P3，作CE垂直于對稱軸與點E，由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理就可以求出結(jié)論；

（4）設(shè)出E點的坐標(biāo)為（x，-x+2），就可以表示出F的坐標(biāo)，進而求出EF的長，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出答案．

試題解析：（1）∵拋物線過點A（-1，0），C（0，2），

∴b=,c=2．

∴解析式為．

(2)∵點B的坐標(biāo)為（4，0），

∴BC=．

．

(3)存在．

∵點D的坐標(biāo)為（，0），

．

∴點P的坐標(biāo)為（， ）、（，4）或（，－ ）．

(4)設(shè)直線BC的解析式為

∵B、C兩點坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，2），

∴4m+n=0,n=2,

∴m=,n=2

∴直線BC的解析式為．

設(shè)E點坐標(biāo)為,則F點坐標(biāo)為

∴當(dāng)點E坐標(biāo)為（2，1）時，線段EF最長．