Question

11．如圖，拋物線L：y=ax²+bx+c與x軸交于A、B（3，0）兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），已知對(duì)稱軸x=1．
（1）求拋物線L的解析式；
（2）將拋物線L向下平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△OBC內(nèi)（包括△OBC的邊界），求h的取值范圍；
（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線L上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線l：x=-3上，△PBQ能否成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；
（2）先求出直線BC解析式為y=-x+3，再求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出當(dāng)x=1時(shí)，y=2；結(jié)合拋物線頂點(diǎn)坐即可得出結(jié)果；
（3）設(shè)P（m，-m²+2m+3），Q（-3，n），由勾股定理得出PB²=（m-3）²+（-m²+2m+3）²，PQ²=（m+3）²+（-m²+2m+3-n）²，BQ²=n²+36，過P點(diǎn)作PM垂直于y軸，交y軸與M點(diǎn)，過B點(diǎn)作BN垂直于MP的延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，由AAS證明△PQM≌△BPN，得出MQ=NP，PM=BN，則MQ=-m²+2m+3-n，PN=3-m，得出方程-m²+2m+3-n=3-m，解方程即可．

解答 解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸x=1，B（3，0），
∴A（-1，0）
∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)C（0，3）
∴當(dāng)x=0時(shí)，c=3．
又∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；
（2）∵C（0，3），B（3，0），
∴直線BC解析式為y=-x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）
∵對(duì)于直線BC：y=-x+1，當(dāng)x=1時(shí)，y=2；將拋物線L向下平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴當(dāng)h=2時(shí)，拋物線頂點(diǎn)落在BC上；
當(dāng)h=4時(shí)，拋物線頂點(diǎn)落在OB上，
∴將拋物線L向下平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△OBC內(nèi)（包括△OBC的邊界），
則2≤h≤4；
（3）設(shè)P（m，-m²+2m+3），Q（-3，n），
①當(dāng)P點(diǎn)在x軸上方時(shí)，過P點(diǎn)作PM垂直于y軸，交y軸與M點(diǎn)，過B點(diǎn)作BN垂直于MP的延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，如圖所示：
∵B（3，0），
∵△PBQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∴∠BPQ=90°，BP=PQ，
則∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP，
在△PQM和△BPN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PMQ=∠BNP}&{\;}\\{∠MPQ=∠NBP}&{\;}\\{PQ=BP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PQM≌△BPN（AAS），
∴PM=BN，
∵PM=BN=-m²+2m+3，根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)可得PN=3-m，且PM+PN=6，
∴-m²+2m+3+3-m=6，
解得：m=1或m=0，
∴P（1，4）或P（0，3）．
②當(dāng)P點(diǎn)在x軸下方時(shí)，過P點(diǎn)作PM垂直于l于M點(diǎn)，過B點(diǎn)作BN垂直于MP的延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，
同理可得△PQM≌△BPN，
∴PM=BN，
∴PM=6-（3-m）=3+m，BN=m²-2m-3，
則3+m=m²-2m-3，
解得m=$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$．
∴P（$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$，$\frac{-\sqrt{33}-9}{2}$）或（$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$，$\frac{\sqrt{33}-9}{2}$）．
綜上可得，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，4），（0，3），（$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$，$\frac{-\sqrt{33}-9}{2}$）和（$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$，$\frac{\sqrt{33}-9}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式、拋物線的頂點(diǎn)式、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（3）中，需要通過作輔助線證明三角形全等才能得出結(jié)果．