Question

已知：如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC=12cm，BD=16cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，直線EF從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，EF⊥BD，且與AD，BD，CD分別交于點(diǎn)E，Q，F(xiàn)；當(dāng)直線EF停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)．連接PF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形APFD是平行四邊形？

（2）設(shè)四邊形APFE的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S_{四邊形APFE}：S_菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此時(shí)P，E兩點(diǎn)間的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=8．

在Rt△AOB中，AB==10．

∵EF⊥BD，

∴∠FQD=∠COD=90°．

又∵∠FDQ=∠CDO，

∴△DFQ∽△DCO．

∴=．

即=，

∴DF=t．

∵四邊形APFD是平行四邊形，

∴AP=DF．

即10﹣t=t，

解這個(gè)方程，得t=．

∴當(dāng)t=s時(shí)，四邊形APFD是平行四邊形．

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，

∵S_菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，

即10•CG=×12×16，

∴CG=．

∴S_梯形APFD=（AP+DF）•CG

=（10﹣t+t）•=t+48．

∵△DFQ∽△DCO，

∴=．

即=，

∴QF=t．

同理，EQ=t．

∴EF=QF+EQ=t．

∴S_△EFD=EF•QD=×t×t=t²．

∴y=（t+48）﹣t²=﹣t²+t+48．

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥EF于點(diǎn)M，PN⊥BD于點(diǎn)N，

若S_{四邊形APFE}：S_菱形ABCD=17：40，

則﹣t²+t+48=×96，

即5t²﹣8t﹣48=0，

解這個(gè)方程，得t₁=4，t₂=﹣（舍去）

過(guò)點(diǎn)P作PM⊥EF于點(diǎn)M，PN⊥BD于點(diǎn)N，

當(dāng)t=4時(shí)，

∵△PBN∽△ABO，

∴==，即==．

∴PN=，BN=．

∴EM=EQ﹣MQ==．

PM=BD﹣BN﹣DQ==．

在Rt△PME中，

PE===（cm）．