Question

如圖，矩形ABCD中，AD=8，AB=9，AE=6，過D、E兩點作直線L₁與BC所在的直線L₂交于點F．點O是直線L₁與直線L₂間的一動點，以O(shè)為圓心作⊙O，使⊙O與L₁相切，又同時與矩形兩邊所在的直線相切，此時圓的半徑是

1或3

．

Answer 1

分析：因為圓的位置不確定，所以需要分類討論：①⊙O是△EFB的內(nèi)切圓；②⊙O是△FCD的內(nèi)切圓，再根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑為r=

a+b+c

2

計算即可．

解答：解：∵矩形ABCD中，AD=8，AB=9，AE=6，
∴BE=3，ED=10．
①如圖1所示：
∵BE∥CD，
∴△FBE∽FCD，
∴

BE

CD

=

FB

FC

，
∴FB=4，
由勾股定理得：EF=5，
∴此時圓的半徑是

a+b+c

2

=

4+3-5

2

=1；

②如圖2所示：
FD=DE+EF=15，F(xiàn)C=FB+BC=4+8=12，CD=9，
∴此時圓的半徑是

a+b+c

2

=

12+9-15

2

=3，
故答案為：1或3．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理的運用、相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形內(nèi)切圓的半徑和三邊的數(shù)量關(guān)系，題目的綜合性不小，并且注意分類討論思想的運用．