Question

已知關(guān)于x的一元二次方程2x²+4x+m-1=0有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根能否同時(shí)為正數(shù)或負(fù)數(shù)？若能，請求出相應(yīng)m的取值范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得出不等式，求出不等式的解集即可．
（2）設(shè)方程的兩個(gè)根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

m-1

2

，再看看兩根同時(shí)為正數(shù)或負(fù)數(shù)是否符合兩個(gè)等式即可．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程2x²+4x+m-1=0有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，
∴△≥0，
∴△=4²-4×2（m-1）≥0，
m≤3，
即m的取值范圍是：m≤3．

（2）能同時(shí)為負(fù)數(shù)，
理由是：設(shè)方程的兩個(gè)根為x₁，x₂，
則x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

m-1

2

，
當(dāng)兩根為正數(shù)時(shí)，不符合x₁+x₂=-2，即兩個(gè)根不能同時(shí)為正數(shù)；
當(dāng)兩根為負(fù)數(shù)時(shí)，符合x₁+x₂=-2，此時(shí)x₁•x₂=

m-1

2

＞0，
解得：m＞1，
即兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根能同時(shí)為負(fù)數(shù)，相應(yīng)m的取值范圍是m＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的應(yīng)用，注意：一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的根的判別式是△=b²-4ac，如果兩個(gè)根為為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．