Question

如圖所示，四邊形ABCD是正方形，對角線AC與BD相交于O，MN∥AB，且分別與AO，BO交于M、N，求證：（1）BM=CN；（2）BM⊥CN．

Answer 1

證明：（1）∵M(jìn)N∥AB，
∴∠OMN=∠OAB，∠ONM=∠OBA
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA
∴∠OMN=∠ONM，
∴OM=ON
∴AM=OA-OM=OB-ON=BN，
在△ABM和△BCN中，，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴BM=CN．

（2）由△ABM≌△BCN得，∠ABM=∠BCN，
又∵∠ABM+∠CBM=90°，
∴∠BCN+∠CBM=90°，
∴CN⊥BM．
分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠OMN=∠ONM=∠OAB=∠OBA=45°，AM=BN，進(jìn)而求證△ABM≌△BCN，得到BM=CN；
（2）因為∠ABM+∠CBM=90°，所以∠BCN+∠CBM=90°，BM⊥CN．
點評：考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)正方形的性質(zhì)求證判定三角形全等是解決本題的關(guān)鍵．