Question

在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D，E分別是邊AB，AC上的兩個動點（D不與A，B重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點A的異側(cè)作正方形DEFG．
（1）當(dāng)FG與BC重合時，求正方形DEFG的邊長；
（2）設(shè)AD=x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）當(dāng)△BDG是等腰三角形時，請直接寫出AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先設(shè)BC邊上的高AM交DE天點P．由在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，即可求得BM與AM的值，又由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形高的比等于相似比，即可得方程：，解此方程即可求得答案；
（2）首先根據(jù)三角函數(shù)的定義求得正方形DEFG的邊長為x，然后分別從當(dāng)FG在△ABC的內(nèi)部時與當(dāng)FG在△ABC的外部時去分析求解即可求得答案；
（3）分別從GB=GD，DB=DG，BD=BG去分析求解即可求得答案．
解答：解：（1）如圖1，設(shè)BC邊上的高AM交DE于點P．
∵AB=AC=5，BC=6，且AM⊥BC，
∴BM=BC=3，…（1分）
∴AM==4，…（2分）
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，…（3分）
∴，…（4分）
設(shè)正方形DEFG的邊長為a，
則，…（5分）
∴a=，
∴當(dāng)FG與BC重合時，正方形DEFG的邊長為．…（6分）

（2）在Rt△ADP中，DP=AD=x，
∴正方形DEFG的邊長為x．…（7分）
①如圖2，當(dāng)FG在△ABC的內(nèi)部時，y=DE²=（x）²=x²，（0＜x＜2）；…（8分）

②如圖3，當(dāng)FG與BC重合或在△ABC的外部時，設(shè)DG與BC交于點N．
在Rt△DBN中，DN=DB=（5-x）=4-x．
∴y=DE•DN=x•（4-x）=-x²+x，（2≤x＜5）．…（9分）

（4）如圖4，當(dāng)GB=GD時，過點G作GH⊥AB于G，
則DH=BH，
∵AD=x，DG=x，
∴DH=DG=x，
∵AD+DB=5，
∴x+x+x=5，
解得：x=，
則AD=； …（10分）
如圖5，當(dāng)DB=DG時，
則AB=AD+DB=AD+DG，
即x+x=5，
解得：x=，
即AD=；…（11分）
如圖6，當(dāng)BD=BG時，
BD==DG=•x=x，
∵AD+BD=AB=5，
∴x+x=5，
解得：x=，
∴AD=．（12分）
∴當(dāng)△BDG是等腰三角形時，AD=或或．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意準(zhǔn)確作出輔助線，掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．