Question

【題目】如圖，在矩形中，是邊的中點(diǎn)，沿對(duì)折矩形，使點(diǎn)落在處，折痕為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

（1）求證：四邊形為平行四邊形；

（2）若矩形的邊＝，＝，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）由折疊的性質(zhì)得到＝，與垂直，根據(jù)為中點(diǎn)，得到＝＝，利用三角形內(nèi)一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形為直角三角形，得到為，進(jìn)而得到與平行，再由與平行，利用兩對(duì)邊平行的四邊形為平行四邊形即可得證；

（2）過(guò)作，在直角三角形中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，利用面積法求出的長(zhǎng)，根據(jù)＝求出的長(zhǎng)，在直角三角形中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，根據(jù)求出的長(zhǎng)，由與平行，得到三角形與三角形相似，由相似得比例求出的長(zhǎng)，再由＝＝，求出三角形面積即可．

解：（1）由折疊得到＝，，

∵為的中點(diǎn)，

∴＝＝，

∴，

∴，

∵四邊形是矩形，

∴，

∴四邊形為平行四邊形；

（2）過(guò)作，交于點(diǎn)，

在中，＝，＝，

根據(jù)勾股定理得：，

∵，

∴，

由折疊得：＝，

在中，＝，，

根據(jù)勾股定理得：，

∵四邊形為平行四邊形，

∴＝＝，＝＝，

∴＝，

∵，

∴，即，

解得：，

則．