Question

【題目】已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，將DE繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到DF．

（1）如圖1，若點(diǎn)F恰好落在AC邊上，求證：點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；

（2）如圖2，在（1）的條件下，若=45°，連接AD，求證：；

（3）如圖3，若，連CF，當(dāng)CF取最小值時(shí)，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）3.

【解析】

（1）要證明D是線段的中點(diǎn)，最常見(jiàn)的作法是證明兩線段所在三角形全等，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB,DG⊥AC，構(gòu)建出線段所在的三角形，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和，確定相等的角，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定相等的邊，求，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)，得到條件進(jìn)而求證解決.

（2）設(shè)出CG為x，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形中銳角三角函數(shù)，將BE、CF、AD的邊分別用x表示出來(lái)，進(jìn)而求證即可.

（3）延長(zhǎng)DB至點(diǎn)K，使BK=BE，過(guò)點(diǎn)D作DQ∥AB且DQ=AB,連接AQ，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，證明△DEK≌DFQ，得出∠FQD=60°，F(xiàn)Q所在直線即為F的軌跡，然后根據(jù)直角三角形中邊角關(guān)系，判斷出CD與PD的關(guān)系，然后確定PD與CQ的關(guān)系，最后確定的值即可.

解：(1) 過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB,DG⊥AC，如圖：

∵△ABC是等邊三角形

∴∠ A=∠ C=∠ ABC=60°

∵∠EDF=120°，

故D為BC的中點(diǎn)

（2）證明：

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°

設(shè)CG為m，

在Rt△CGD中，

在Rt△FGD中,

∵∠DFG=45°

∴DG=GF=

∴CF=CG+GF=

∵D是BC的中點(diǎn)

∴BD=CD=2m

在Rt△BDH中，

BH=BD×cos60°=2m×=m

∵DF是由DE旋轉(zhuǎn)得到

∴DE=DF=

在Rt△EDH中，

BE=EH-BH=-m=

∴CF+BE=+

在Rt△ADC中，

AD=CD×tan60°=2m×=

∴CF+BE=AD

（3）解：

延長(zhǎng)DB至點(diǎn)K，使BK=BE

過(guò)點(diǎn)D作DQ∥AB且DQ=AB,連接AQ

∵BE=CD，BE=BK

∴BK=CD

∴BC=BD+CD=BD+BK=DK

∵△ABC是等邊三角形

∴AB=BC=AC

∵DQ=AB,

∴DK=DQ

∵DQ∥AB

∠BDQ+∠ABC=120°

∵∠BDF=120°

∴∠EDB=∠FDQ

在△DEK和DFQ中

∴△DEK≌DFQ（SAS）

∴∠FQD=∠K

∵△ABC為等邊三角形

∴∠ABC=60°

又∵BK=NE,∠KBE=∠ABC=60°

∴∠K=∠BEK=60°

∠FQD=∠K=60°

∴F的軌跡為直線FQ,

∴當(dāng)CF⊥FQ時(shí)，CF最小，此時(shí)DQ與CF相交于點(diǎn)P,

在Rt△PFQ中，

∵∠FPQ=90°-60°

∴PQ=2FQ

∵∠BDQ=120°，

∴∠PDC=60°，

在△FQP和△CDP中，

∴△FQP≌△CDP（AAS）

∴PQ=PD

在Rt△PDC中，

∵∠PDC=∠PQF=60°

∴

PQ=2CD

∴DQ=4CD

∴KD=4CD

又∵KB=CD

∴