四邊形OABC是等腰梯形,OA∥BC.在建立如圖的平面直角坐標(biāo)系中,A(4,0),B(3,2),點(diǎn)M從O點(diǎn)以每秒2個單位的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動;同時點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)以每秒1個單位的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動,過點(diǎn)N作NP垂直于x軸于P點(diǎn)連接AC交NP于Q,連接MQ.
(1)寫出C點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若動點(diǎn)N運(yùn)動t秒,求Q點(diǎn)的坐標(biāo);(用含t的式子表示)
(3)其△AMQ的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍;
(4)當(dāng)t取何值時,△AMQ的面積最大;
(5)當(dāng)t為何值時,△AMQ為等腰三角形.

【答案】分析:(1)由于等腰梯形是軸對稱圖形,根據(jù)O、A坐標(biāo)可求出等腰梯形對稱軸的解析式,進(jìn)而可根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸的解析式求出C點(diǎn)坐標(biāo).
(2)求Q點(diǎn)坐標(biāo),即求QP和OP的長,Q點(diǎn)橫坐標(biāo)即為B點(diǎn)橫坐標(biāo)減去NB的長,據(jù)此可求出Q點(diǎn)橫坐標(biāo),Q點(diǎn)縱坐標(biāo)可通過構(gòu)建相似三角形來求解,過C作CE⊥OA于E,可根據(jù)QP∥CE得出的關(guān)于AP、AE、PQ、CE的比例關(guān)系式求出Q點(diǎn)縱坐.由此可得出Q點(diǎn)坐標(biāo).
(3)在②中已經(jīng)求得了QP的長,AM的長易得出,據(jù)此可用三角形面積公式求出S,t的函數(shù)關(guān)系式.
(4)根據(jù)(3)得出的函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍即可求出S的最大值及對應(yīng)的t的值.
(5)本題要分三種情況討論:
①Q(mào)M=QA,根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn),可得出MP=PA=AM,可根據(jù)MP和AP的不同表達(dá)式求出t的值.
②AM=QA,可直接用表示AM的式子表示AQ,然后在直角三角形PAQ中,用勾股定理求出t的值;③QM=MA,同②.
解答:解:(1)C(1,2).

(2)過C作CE⊥x軸于E,則CE=2
當(dāng)動點(diǎn)N運(yùn)動t秒時,NB=t
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為3-t
設(shè)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yQ
由PQ∥CE得
∴yQ=
∴點(diǎn)Q(3-t,);

(3)點(diǎn)M以每秒2個單位運(yùn)動,
∴OM=2t,AM=4-2t,
S△AMQ=AM•PQ=•(4-2t)•
=(2-t)(t+1)
=-(t2-t-2)
當(dāng)t=2時,M運(yùn)動到A點(diǎn),△AMQ不存在,
∴t≠2,
∴t的取值范圍是0≤t<2;

(4)由S△AMQ=(t2-t-2)=-(t-2+
當(dāng)t=時,Smzx=;

(5)①若QM=QA
∵QP⊥OA,
∴MP=AP,
而MP=4-(1+t+2t)=3-3t,
即1+t=3-3t,
t=,
∴當(dāng)t=時,△QMA為等腰三角形;
②若AQ=AM
AQ2=AP2+PQ2=(1+t)2+(2=(1+t)2AQ=,
AM=4-2t(1+t)=4-2t,
t=而0<<2,
∴當(dāng)t=時,△QMA為等腰三角形;
③若MQ=MA
MQ2=MP2+PQ2
=(3-3t)2+(2=t2-t+
t2-t+
=(4-2t)2
t2-t-=0
解得t=或t=-1(舍去)
∵0<<2,
∴當(dāng)t=時,△QMA為等腰三角形;
綜上所述:當(dāng)t=,t=或t=△QMA都為等腰三角形.
點(diǎn)評:本題是點(diǎn)的運(yùn)動性問題,考查了等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識點(diǎn),綜合性較強(qiáng),考查學(xué)生分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC是等腰梯形,BC∥OA,OA=7,AB=4,∠CO精英家教網(wǎng)A=45°,點(diǎn)P為x軸上一個動點(diǎn),(點(diǎn)P不與O、A重合),連接CP,過點(diǎn)P作PD交AB于點(diǎn)D.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時,△OCP為等腰三角形,求此時點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時,∠CPD=45°,且
BD
AD
=
1
3
,求此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,BC∥OA,OA=7,AB=4,精英家教網(wǎng)∠COA=60°,點(diǎn)P為x軸上的一個動點(diǎn),但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連接CP,D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn),連PD.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時,△OCP為等腰三角形,求這時點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•新昌縣模擬)火車勻速通過隧道時,火車在隧道內(nèi)的長度y(米)與火車行駛時間x(秒)之間的關(guān)系用圖象描述如圖所示,其中四邊形OABC是等腰梯形,則下列結(jié)論中正確的是( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

四邊形OABC是等腰梯形,OA∥BC,在建立如圖的平面直角坐標(biāo)系中,A(10,0),B(8,6),直線x=4與直線AC交于P點(diǎn),與x軸交于H點(diǎn);
(1)直接寫出C點(diǎn)的坐標(biāo),并求出直線AC的解析式;
(2)求出線段PH的長度,并在直線AC上找到Q點(diǎn),使得△PHQ的面積為△AOC面積的
15
,求出Q點(diǎn)坐標(biāo);
(3)M點(diǎn)是直線AC上除P點(diǎn)以外的一個動點(diǎn),問:在x軸上是否存在N點(diǎn),使得△MHN為等腰直角三角形?若有,請求出M點(diǎn)及對應(yīng)的N點(diǎn)的坐標(biāo),若沒有,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在梯形OABC的邊上運(yùn)動,路徑為O→A→B→C,到達(dá)點(diǎn)C時停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時,請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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