Question

如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點，AE=BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE．
（1）求證：△ABE≌△DFA；
（2）如果AD=10，AB=6，求的值．

Answer 1

（1）證明：在矩形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，
∴∠AFD=∠B=90°，
∵AE=BC，
∴AE=AD，
在△ABE與△DFA中，，
∴△ABE≌△DFA（AAS）；

（2）∵AD=10，
∴AE=AD=10，
在△ABE中，BE===8，
∵△ABE≌△DFA，
∴AF=BE=8，
∴EF=AE-AF=10-8=2，
CE=BC-BE=10-8=2，
在△CDE中，DE===2，
∴==．
分析：（1）根據矩形的對邊平行可得AD∥BC，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠DAF=∠AEB，又∠AFD=∠B=90°，然后利用角角邊定理證明；
（2）根據勾股定理求出BE的長度是8，再根據全等三角形對應邊相等得AF=8，然后求出EF與CE的長，在Rt△DCE中，利用勾股定理求出DE的長，然后代入數據計算即可求解．
點評：本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，是綜合題，難度較大，需要有較強的圖形識別與分析能力方可解決，難度較大．