Question

18．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，以DC為直徑的⊙O交△ABC的邊于G，F(xiàn)，E點．
（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形；
（2）若∠A=35°，求$\widehat{DG}$的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）連接DF，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出BD=CD=AD，由圓周角定理可知DF⊥BC，證出DE∥BC，證明DE是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出DE=$\frac{1}{2}$BC=BF，即可得出結(jié)論；
（2）連接OG，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DCA═∠A=35°，由三角形的外角性質(zhì)得出∠ODG=∠A+∠DCA=70°，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠DOG=40°，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：連接DF，如圖1所示：
∵∠ACB=90°，D是AB的中點，
∴BD=CD=AD，
又∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DEA=∠DEC=∠DFC=90°，
∴∠DEA=∠ACB，DF⊥BC，
∴DE∥BC，BF=CF，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=BF，
∴四邊形BDEF是平行四邊形；
（2）解：連接OG，如圖2所示：
∵CD=AD，
∴∠DCA═∠A=35°，
∴∠ODG=∠A+∠DCA=70°，
∵OD=OG，
∴∠OGD=∠ODG=70°，
∴∠DOG=180°-2×70°=40°，
即$\widehat{DG}$的度數(shù)為40°．

點評 本題考查了平行四邊形的判定、圓周角定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與圓周角定理，證出DE=BF是解決問題（1）的關鍵．