Question

已知：等邊△ABC的邊長為3

3

，⊙O的半徑為r．

（1）如圖（1），若⊙O從與AC相切于點A的位置出發(fā)，在△ABC外部按順時針方向沿三角形滾動，最后回到開始的位置．
①求圓心O經(jīng)過的路徑長（用含r的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)r=

3

2π

時，⊙O自轉(zhuǎn)了幾圈？
（2）如圖（2），若將⊙O的圓心O與點A重合，然后將圓心O沿線路AC→CB→BA運動，最后回到點A，⊙O隨點O的運動而移動．
①在移動過程中，⊙O與等邊△ABC的邊會有相切的位置關(guān)系，從切點的個數(shù)來考慮，相切有幾種不同情況？寫出不同情況下，r的取值范圍及相應(yīng)的切點個數(shù)．
②在移動過程中，在△ABC內(nèi)部，⊙O未經(jīng)過的部分的面積為S，在S＞0時，求S關(guān)于r的函數(shù)解析式，并寫出自變量r的取值范圍．

Answer 1

考點：圓的綜合題,等邊三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),切線的性質(zhì),弧長的計算,特殊角的三角函數(shù)值

專題：綜合題

分析：（1）①通過畫圖（圖1）可知；圓心O經(jīng)過的路徑長等于△ABC的周長與三個半徑為r且圓心角為120度的弧長的和，通過計算就可求出圓心O經(jīng)過的路徑長；②只需將圓心O經(jīng)過的路徑長除以圓的周長即可得到⊙O自轉(zhuǎn)圈數(shù)．
（2）①只需先考查臨界位置（圓心到達一個頂點時與一邊相切）時所對應(yīng)的r的值，如圖2，就可解決問題；②如圖3，在S＞0時，⊙O未經(jīng)過的部分的面積就是△DEF的面積，可以證出△DEF是等邊三角形，只需用r的代數(shù)式表示出△DEF的一條邊，就可解決問題．

解答：解：（1）①圓心O運動的路徑如圖1所示，

則圓心O經(jīng)過的路徑長為

(360-90-90-60)πr

180

×3+3

3

×3
=2πr+9

3

．
②當(dāng)r=

3

2π

時，圓心O經(jīng)過的路徑長為2π×

3

2π

+9

3

=10

3

．
∵⊙O的周長為2πr=

3

，
∴⊙O自轉(zhuǎn)的圈數(shù)為

10 3

3

=10（圈）

（2）①當(dāng)點O運動到點C且與AB相切于點H時，如圖2所示，

則有r=CH．
∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°．
∵AC=3

3

，∴CH=AC•sinA=3

3

×

3

2

=

9

2

．
∴r=

9

2

．
∴當(dāng)0＜r＜

9

2

時，圓心O在每一條邊運動時都有2個切點，共6個切點；
當(dāng)r=

9

2

時，圓心O在每一條邊運動時都有1個切點，共3個切點；
當(dāng)r＞

9

2

時，圓心O在每一條邊運動時都沒有切點，共0個切點．
②當(dāng)S＞0時，過點N作NQ⊥BC，如圖3所示，

則有S=S_△DEF，NQ=r；
NF∥BC，DF∥AC，DE∥AB；
BN=BP=AM．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠A=60°．
∵NQ⊥BC，
∴NQ=BN•sin∠B．
∴r=BN×

3

2

．
∴BN=

2 3 r

3

．
∴BP=AM=BN=

2 3 r

3

．
∵AB=3

3

，
∴MN=3

3

-

2 3 r

3

-

2 3 r

3

=3

3

-

4 3 r

3

．
∵NF∥BC，DE∥AB，
∴四邊形BPEN是平行四邊形，∠MNF=∠B=60°，∠NMF=∠A=60°．
∴NE=BP，△MNF是等邊三角形．
∴NF=MN．
∴EF=NF-NE=MN-BP=3

3

-

4 3 r

3

-

2 3 r

3

=3

3

-2

3

r．
∵△MNF是等邊三角形，DE∥AB，
∴∠DEF=∠MNF=60°，∠DFE=60°．
∴△DEF是等邊三角形．
∴DE=EF．
∴S=S_△DEF=

1

2

EF•DE•sin∠DEF
=

1

2

×（3

3

-2

3

r）×（3

3

-2

3

r）×

3

2

=

3 3

4

（2r-3）²．
其中EF＞0，即3

3

-2

3

r＞0，
解得；r＜

3

2

．
∵r＞0，∴0＜r＜

3

2

．
∴S關(guān)于r的函數(shù)解析式為S=

3 3

4

（2r-3）²，其中0＜r＜

3

2

．

點評：本題考查了圓的切線的性質(zhì)、圓弧長公式、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識，還考查了臨界值法及分類討論的思想，有一定的難度．