Question

（2012•南通一模）如圖1，拋物線y=nx²-11nx+24n （n＜0）與x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），拋物線上另有一點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，且∠BAC=90°．
（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

（3，0）

），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

（8，0）

）；
（2）連接OA，若△OAC為等腰三角形．
①求此時(shí)拋物線的解析式；
②如圖2，將△OAC沿x軸翻折后得△ODC，點(diǎn)M為①中所求的拋物線上點(diǎn)A與點(diǎn)C兩點(diǎn)之間一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，過動(dòng)點(diǎn)M作垂直于x軸的直線l與CD交于點(diǎn)N，試探究：當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AMCN的面積取得最大值，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)求法，解一元二次方程即可得出；
（2）①利用菱形性質(zhì)得出AD⊥OC，進(jìn)而得出△ACE∽△BAE，即可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式；
②首先求出過C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)的直線CD的解析式，進(jìn)而利用S_{四邊形AMCN}=S_△AMN+S_△CMN求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=nx²-11nx+24n （n＜0）與x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：0=nx²-11nx+24n，
解得：x₁=3，x₂=8，
∴OB=3，OC=8，
故B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為：（8，0）；

（2）①如圖1，作AE⊥OC，垂足為點(diǎn)E
∵△OAC是等腰三角形，∴OE=EC=

1

2

×8=4，∴BE=4-3=1，
又∵∠BAC=90°，∴△ACE∽△BAE，∴

AE

BE

=

CE

AE

，
∴AE²=BE•CE=1×4，∴AE=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為 （4，2），
把點(diǎn)A的坐標(biāo) （4，2）代入拋物線y=nx²-11nx+24n，得n=-

1

2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

11

2

x-12，

②∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)M在①中的拋物線上，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為 （m，-

1

2

m²+

11

2

m-12），由①知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，-2），
則C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)求直線CD的解析式為y=

1

2

x-4，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為 （m，

1

2

m-4），
∴MN=（-

1

2

m²+

11

2

m-12）-（

1

2

m-4）=-

1

2

m²+5m-8，
∴S_{四邊形AMCN}=S_△AMN+S_△CMN=

1

2

MN•CE=

1

2

（-

1

2

m²+5m-8）×4，
=-（m-5）²+9，
∴當(dāng)m=5時(shí)，S_{四邊形AMCN}=9．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)求法以及菱形性質(zhì)和四邊形面積求法等知識(shí)，根據(jù)已知得出△ACE∽△BAE是解決問題的關(guān)鍵．