Question

【題目】如圖，設拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于兩個不同的點A（﹣1，0），B（m，0），與y軸交于點C（0，﹣2），且∠ACB＝90度．

（1）求m的值和拋物線的解析式；

（2）已知點D（1，n）在拋物線上，過點A的直線y＝x+1交拋物線于另一點E，求點D和點E的坐標；

（3）在x軸上是否存在點P，使以點P，B，D為頂點的三角形與三角形AEB相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m＝4，y＝x2﹣x﹣2；（2）D（1，﹣3），E（6，7）；（3）在x軸上存在點P1（，0），P2（﹣，0）滿足條件．

【解析】

（1）利用 結合相似三角形的性質得從而求解的值，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，

（2）把點D（1，n）代入函數(shù)解析式可得D的坐標，聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式解方程組可得E的坐標，

（3）作EH⊥x軸于點H，作DM⊥x軸于點M，利用點的坐標得到∠EAB＝∠DBP＝45°，再分兩種情況討論即可得到答案．

解：（1）在直角△ABC中，

∵CO⊥AB

∴

∴22＝1×m，即m＝4

∴B（4，0）．

把A（﹣1，0）B（4，0）分別代入y＝ax2+bx﹣2，

解方程組得

∴

（2）把D（1，n）代入

得n＝﹣3，

∴D（1，﹣3）

解方程組

得

∴E（6，7）．

（3）作EH⊥x軸于點H，則EH＝AH＝7，

∴∠EAB＝45°，

由勾股定理得：BE＝ AE＝

作DM⊥x軸于點M，D（1，﹣3）

則DM＝BM＝3，

∴∠DBM＝45°

由勾股定理得BD＝

假設在x軸上存在點P滿足條件，

∵∠EAB＝∠DBP＝45°，

∴當 時，

當時，

即

∴

在軸的負半軸上，

∴在x軸上存在點或滿足條件．