Question

已知：一元二次方程x²+kx+k﹣=0．

（1）求證：不論k為何實數時，此方程總有兩個實數根；

（2）設k＜0，當二次函數y=x²+kx+k﹣的圖象與x軸的兩個交點A、B間的距離為4時，求此二次函數的解析式；

（3）在（2）的條件下，若拋物線的頂點為C，過y軸上一點M（0，m）作y軸的垂線l，當m為何值時，直線l與△ABC的外接圓有公共點？

Answer 1

考點：

二次函數綜合題．

分析：

（1）根據一元二次方程的根的判別式△=b²﹣4ac的符號來判定已知方程的根的情況；

（2）利用根與系數的關系（|x_A﹣x_B|==4）列出關于k的方程，通過解方程來求k的值；

（3）根據直線與圓的位置的位置關系確定m的取值范圍．

解答：

（1）證明：∵△=k²﹣4××（k﹣）=k²﹣2k+1=（k﹣1）²≥0，

∴關于x的一元二次方程x²+kx+k﹣=0，不論k為何實數時，此方程總有兩個實數根；

（2）令y=0，則x²+kx+k﹣=0．

∵x_A+x_B=﹣2k，x_A•x_B=2k﹣1，

∴|x_A﹣x_B|===2|k﹣1|=4，即|k﹣1|=2，

解得k=3（不合題意，舍去），或k=﹣1．

∴此二次函數的解析式是y=x²﹣x﹣；

（3）由（2）知，拋物線的解析式是y=x²﹣x﹣．

易求A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2），

∴AB=4，AC=2，BC=2．

顯然AC²+BC²=AB²，得△ABC是等腰直角三角形．AB為斜邊，

∴外接圓的直徑為AB=4，

∴﹣2≤m≤2．

點評：

本題綜合考查了二次函數綜合題，其中涉及到的知識點有：拋物線與x軸的交點，待定系數法求二次函數的解析式以及直線與圓的關系，范圍較廣，難度較大．