Question

7．已知，如圖（a），拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，-2），其頂點(diǎn)為D．以AB為直徑的⊙M交y軸于點(diǎn)E、F，過點(diǎn)E作⊙M的切線交x軸于點(diǎn)N．∠ONE=30°，|x₁-x₂|=2．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）連結(jié)AD、BD，在（1）中的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△ABP與△ADB相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）如圖（b），點(diǎn)Q為圓弧EBF上的動(dòng)點(diǎn)（Q不與E、F重合），連結(jié)AQ交y軸于點(diǎn)H，問：AH•AQ是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先證明△EOM是含有30度角的特殊三角形，得到OA=OM，進(jìn)而求出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法解決問題．
（2）不存在．如圖1中，假設(shè)△PAB∽△BAD，過點(diǎn)P作PK⊥x軸存在為K，根據(jù)△PAK∽△DAM得到$\frac{PK}{DM}=\frac{AK}{AM}$列出方程，推出△PAB不是等腰三角形即可．
（3）如圖2中，連接BQ，只要證明△AOH∽△AQB得$\frac{AH}{AB}=\frac{AO}{AQ}$即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中連接EM．
∵NE是⊙O切線，∠ENM=30°，
∴ME⊥NE，
∴∠MEN=90°，
∴∠EMN=90°-∠ENM=60°，
在RT△EOM中，∵∠EMO=60°，
∴∠MEO=30°，
∴EM=2MO，
∴AM=2OM，
∴AO=OM，設(shè)AO=OM=m，
∵|x₁-x₂|=2，
∴4m=2，
∴m=$\frac{1}{2}$，
∴A（-$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{3}{2}$，0），
由題意：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+c=0}\\{\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{8}{3}}\\{b=-\frac{8}{3}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{8}{3}{x}^{2}$-$\frac{8}{3}$x-2，頂點(diǎn)D（$\frac{1}{2}$，-$\frac{8}{3}$）．
（2）不存在．理由如下：
如圖1中，假設(shè)△PAB∽△BAD，過點(diǎn)P作PK⊥x軸存在為K，設(shè)P（m，$\frac{8}{3}{m}^{2}$-$\frac{8}{3}$m-2），
∵∠PAK=∠MAD，∠PKA=∠DMA=90°，
∴△PAK∽△DAM，
∴$\frac{PK}{DM}=\frac{AK}{AM}$，
∴$\frac{\frac{8}{3}{m}^{2}-\frac{8}{3}m-2}{\frac{8}{3}}=\frac{m+\frac{1}{2}}{1}$，
∴m=$\frac{5}{2}$（或-$\frac{1}{2}$舍棄），
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，8），
∵顯然AB≠PB，而△ABD是等腰三角形，
∴不存在．

（3）結(jié)論：AH•AQ=1，理由如下：
如圖2中，連接BQ，
∵AB是直徑，
∴∠AQB=90°，
∵∠HAO=∠BAQ，∠HOA=∠AQB=90°，
∴△AOH∽△AQB，
∴$\frac{AH}{AB}=\frac{AO}{AQ}$，
∴AH•AQ=AO•AB=$\frac{1}{2}$•2=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)、圓的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是找到特殊三角形這個(gè)突破口，學(xué)會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)，列出方程用方程的思想解決問題，屬于中考�？碱}型．