Question

在半徑為12，圓心角為90°扇形OAB的弧AB上有一動點(diǎn)P，作PH⊥OA于H，G為△OPH的重心（三角形三條中線的交點(diǎn)）當(dāng)△OHG為等腰三角形時(shí)，PH的長為

4或2

6

．

Answer 1

分析：題中只說△PHG為等腰三角形．沒有指明哪個(gè)是底哪個(gè)是腰，則應(yīng)該分三種情況進(jìn)行分析，從而求得PH的長．

解答：解：如圖，MH，NP是Rt△OPH的兩條中線，交點(diǎn)為G，
∵M(jìn)N∥PH，MN=

1

2

PH，
∴MN⊥OH．
設(shè)PH=x
（1）當(dāng)PG=PH=x時(shí)，
∵M(jìn)N∥PH，
∴

NG

PG

=

MN

PH

=

1

2

，
∴NG=

1

2

x
∵NH²=NP²-PH²=（

3

2

x）²-x²=

5

4

x²，ON²+MN²=OM²
∵ON=NH，
∴

5

4

x²+（

1

2

x）²=（

12

2

）²
∴x=2

6

；
（2）當(dāng)PH=GH=x時(shí)，
同理得x=4；
（3）當(dāng)GH=PG時(shí)，G點(diǎn)在線段PH的中垂線上，G點(diǎn)不是三角形的重心了．
所以PH的長為4或2

6

．
故答案為：4或2

6

．

點(diǎn)評：本題考查了三角形重心的概念，中位線定理，相似比，勾股定理等知識，還涉及了分類討論的思想，具有較強(qiáng)的綜合性．