【題目】如圖,二次函數(shù)y=a(x2-2mx-3m2)其中am為常數(shù),且a>0,m>0的圖象與x軸分別交于點A、BA位于點B左側(cè)),y軸交于點C(0,-3),D在二次函數(shù)圖象上,且CDAB,連AD;過點A作射線AE交二次函數(shù)于點E,使AB平分∠DAE

1)當a=1時,求點D的坐標;

2證明:無論am取何值,點E在同一直線上運動;

3設(shè)該二次函數(shù)圖象頂點為F,試探究:在x軸上是否存在點P,使以PFAD、AE為邊構(gòu)成的三角形是以AE為斜邊的直角三角形?如果存在,請用含m的代數(shù)式表示點P的橫坐標,如果不存在,請說明理由.

【答案】1D(2,-3);(2)證明見解析;(3P(3m,0)(5m,0).

【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意將a=1,C0﹣3)代入y=ax2﹣2mx﹣3m2),進而求出m的值,即可得出答案;

2)首先根據(jù)題意表示出AB,CD,進而聯(lián)立,求出E點坐標即可得出答案;

3)由(2)得:Fm,﹣4)、E4m,5)、A﹣m,0)、D2m,﹣3),再利用PF,AD,AE的關(guān)系得出答案.

解:(1)當a=1時,y=ax2﹣2mx﹣3m2=x2﹣2mx﹣3m2,

y軸交于點C0﹣3),

∴﹣3m2=﹣3,

解得:m=±1

∵m0,

∴m=1

拋物線解析式為:y=x2﹣2x﹣3=x﹣12+4,

故拋物線頂點坐標為:D2,﹣3);

2)作D關(guān)于AB對稱的點D′必在AE上,

y=0,則0=ax2﹣2mx﹣3m2),

解得:x1=﹣m,x2=3m,

x=0,y=﹣3am2,

可得:A﹣m,0)、B3m,0),C0,﹣3am2),D2m,﹣3am2

∴D′2m,3am2),

拋物線過點C,

∴﹣3am2=﹣3,

am2=1,

直線AD′的解析式為:y=x+1,

聯(lián)立,整理得x2﹣3mx﹣4m2=0

解得x1=4m,x2=﹣m(舍去)

∴E4m,5

∴Ey=5上運動;

3)由(2)得:Fm,﹣4)、E4m,5)、A﹣m,0)、D2m﹣3

設(shè)Pb,0

∴PF2=m﹣b2+16AD2=9m2+9,AE2=25m2+25

m﹣b2+16+9m2+9=25m2+25,

解得:b1=﹣3m,b2=5m

∴P﹣3m,0)或(5m,0).

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