Question

如圖正方形ABCD中，E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，BC=nBE，DO⊥AE于點(diǎn)O，CO的延長線交AB于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)n=2時(shí)，DO=______AO；OE=______AO．
（2）當(dāng)n=3時(shí)，求證．
（3）當(dāng)n=______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三角形相似得出2AO=AD，OE=AO．
（2）利用△AFO∽△GCO，以及△ABE∽△GCE分別求出CG=6a，，即可得出答案；
（3）假設(shè)F是AB的5等分點(diǎn)，利用三角形相似，即可求出答案．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，DO⊥AE，
∴∠EAD=∠AEB，∠B=∠AOD，
∴△AOD∽△EBA，
∴，
∵AB=BC=2BE，
∴2AO=AD，
∴OE=AO．
故答案為：2，；

（2）證明：延長AE與DC，相交于G，
設(shè)AB=3a，BE=a，
∵AB∥CD，
∴AE：EG=BE：EC，
∴CG=2AB，
∵OD⊥AE，∠ADC=90°，
∴△AOD∽△DOG，
∴，
∴AO=OD，OG=3OD，
∴，
∵△AFO∽△GCO，
∴，
∵△ABE∽△GCE，
∴，
即：，
∴CG=6a，
∴；
∴==：9a²=．

（3）∵延長AE與DC，相交于G，
∵AB∥CD，
∴AE：EG=BE：EG，
∴CG=（n-1）AB，
∵OD⊥AE，∠ADC=90°，
∴△AOD∽△DOG，
∴，
∴AO=OD，OG=nOD，
∴，
∵△AFO∽△GCO，
∴，
∵AF=AB，
∴，
即：n²-5n+5=0，
解得：n=．
∴當(dāng)n=時(shí)，F(xiàn)是AB的5等分點(diǎn)．
點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識．此題綜合性較強(qiáng)，那難度較大，解題的關(guān)鍵是注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．