Question

如圖，⊙是△ABC的外接圓，AC是直徑，過點O作OD⊥AB于點D，延長DO交⊙于點P，過點P作PE⊥AC于點E，作射線DE交BC的延長線于F點，連接PF。

（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的長；（結(jié)果保留π）

（2）求證：OD=OE；

（3）求證：PF是⊙的切線。

Answer 1

（1）2π；（2）（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)直徑得出半徑的長度，然后根據(jù)弧長的計算公式進行求解；（2）根據(jù)垂直得出∠ADO=∠PEO，對頂角相等，半徑相等得出△ADO和△PEO全等，從而得出OD=OE；（3）連接PC，根據(jù)直徑得出∠ABC=90°，從而說明PD∥BC，根據(jù)已知條件結(jié)合（2）得出△PCE和△PFC全等，從而說明∠OPF=90°，得出切線.

試題解析：（1）由直徑AC=12得半徑OC=6 劣弧PC的長為

（2）證明：∵ OD⊥AB，PE⊥AC ∴ ∠ADO=∠PEO=90°

在△ADO和△PEO中，∠ADO=∠PEO，∠AOD=∠POE，OA=OP ∴ △ADO≌△PEO ∴ OD=OE

（3）連接PC，由AC是直徑知BC⊥AB，又OD⊥AB， ∴ PD∥BF

∴ ∠OPC=∠PCF，∠ODE=∠CFE 由（2）知OD=OE，則∠ODE=∠OED，又∠OED=∠FEC

∴ ∠FEC=∠CFE ∴ EC=FC 由OP=OC知∠OPC=∠OCE

∴ ∠PCE =∠PCF 在△PCE和△PFC中，

EC=FC ∠PCE=∠PCF PC=PC

∴ △PCE≌△PFC ∴ ∠PFC =∠PEC=90° 由∠PDB=∠B=90°可知∠OPF=90°即OP⊥PF

∴ PF是⊙的切線

考點：扇形的弧長計算，三角形全等的證明、切線的判定.

考點分析： 考點1：圓 圓，圓的有關(guān)性質(zhì)與圓的有關(guān)計算是近幾年各地中考命題的重點內(nèi)容。題型以填空題，選擇題和解答題為主，也有以閱讀理解，條件開放，結(jié)論開放探索題作為新的題型，分值一般是6-12分，難易度為中，考察內(nèi)容：①圓的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用。垂徑定理是重點。② 直線和圓，圓和圓的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用。③弧長，扇形面積，圓柱，圓錐的側(cè)面積和全面積的計算④圓與相似三角形，三角函數(shù)的綜合運用以及有關(guān)的開放題，探索題。突破方法：①熟練掌握圓的有關(guān)行政，掌握求線段，角的方法，理解概念之間的相互聯(lián)系和知識之間的相互轉(zhuǎn)化。②理解直線和原的三種位置關(guān)系，掌握切線的性質(zhì)和判定的歌，會根據(jù)條件解決圓中的動態(tài)問題。③掌握有兩圓半徑的和或差與圓心距的大小關(guān)系來盤底的那個兩個圓的位置關(guān)系，對中考試題中常出現(xiàn)的閱讀理解題，探索題，要靈活運用圓的有關(guān)性質(zhì)，進行合理推理與計算。④掌握弧長，扇形面積計算公式。⑤理解圓柱，圓錐的側(cè)面展開圖⑥對組合圖形 的計算要靈活運用計算方法解題。 試題屬性

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