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12.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,以AB為邊在△ABC外作等邊△ABD,E是AB的中點,連接CE并延長交AD于F.
(1)求證:△AEF≌△BEC;
(2)連接BF,試判定BF與AD的位置關(guān)系,并說明理由.

分析 (1)求出∠FAE=∠EBC,根據(jù)ASA推出兩三角形全等即可;
(2)先推出四邊形AFBC是矩形,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠AFB=90°,即可得出答案.

解答 (1)證明:∵△ABD是等邊三角形,
∴∠DAB=60°,
∵∠CAB=30°,∠ACB=90°,
∴∠EBC=180°-90°-30°=60°,
∴∠FAE=∠EBC,
∵E為AB的中點,
∴AE=BE,
在△AEF和△BEC中
{FAE=EBCAE=BEFEA=BEC
∴△AEF≌△BEC(ASA);

(2)解:BF⊥AD,
理由是:∵△AEF≌△BEC,
∴EF=EC,
∵AE=BE,
∴四邊形AFBC是平行四邊形,
∵∠ACB=90°,
∴四邊形AFBC是矩形,
∴∠BFA=90°,
∴BF⊥AD.

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì),矩形的性質(zhì)和判定,全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,能推出△AEF≌△BEC是解此題的關(guān)鍵.

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