Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，平行于x軸的直線與拋物線L：y=ax2相交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在第一象限），點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上．

（1）已知a=1，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2．

①如圖1，向右平移拋物線L使該拋物線過點(diǎn)B,與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C,求AC的長(zhǎng)．

②如圖2，若BD=AB，過點(diǎn)B,D的拋物線L2，其頂點(diǎn)M在x軸上，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

（2）如圖3，若BD=AB，過O,B,D三點(diǎn)的拋物線L3，頂點(diǎn)為P,對(duì)應(yīng)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為a3，過點(diǎn)P作PE∥x軸，交拋物線L于E,F兩點(diǎn), 求的值，并直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）①4，②

【解析】

試題分析：（1）①令y=2代入y=x2，可求得A、B坐標(biāo)，進(jìn)而可求得AB長(zhǎng)度，而AC=2AB，AC長(zhǎng)度可求．②根據(jù)拋物線對(duì)稱性可求得M坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)式設(shè)L2的解析式，再把B點(diǎn)坐標(biāo)帶入即可求得解析式；（2）過點(diǎn)B作BK⊥x軸于點(diǎn)K．設(shè)OK=t，則可利用t表示出G點(diǎn)坐標(biāo)，L3解析式可表示出來(lái)，有因?yàn)長(zhǎng)3經(jīng)過點(diǎn)B代入化簡(jiǎn)就可求得的值，再利用L3解析式表示出頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，再代到L中可求得EF長(zhǎng)度，比值即可求出．

試題解析：（1）①對(duì)于二次函數(shù)y=x2，當(dāng)y＝2時(shí)，2＝x2，解得x1＝，x2＝－，∴AB＝2． ∵平移得到的拋物線L1經(jīng)過點(diǎn)B，∴BC＝AB＝2，∴AC＝4．② 記拋物線L2的對(duì)稱軸與AD相交于點(diǎn)N,根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性，得BN=DB=, ∴．設(shè)拋物線L2的函數(shù)表達(dá)式為．由①得，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（，2）,∴，解得a=4．拋物線L2的函數(shù)表達(dá)式為．

（2）如圖，拋物線L3與x軸交于點(diǎn)G,其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q,過點(diǎn)B作BK⊥x軸于點(diǎn)K．設(shè)OK=t,則AB=BD=2t, 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(t，at2)，根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性，得OQ=2t,OG=2OQ=4t．設(shè)拋物線L3的函數(shù)表達(dá)式為y=a3x（x-4t），∵該拋物線過點(diǎn)B(t，at2)，∴at2=a3t（t-4t），因t≠0，得．．