【題目】如圖1,點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作射線OC,使∠BOC=120°,將有一30度角的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,一邊OM在射線OB上,另一邊ON在直線AB的下方.(圖中∠OMN=30°,∠NOM=90°)
(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2,使OM在∠BOC的內(nèi)部,且恰好平分∠BOC,問(wèn)直線ON是否平分∠AOC?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒6°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,第t秒時(shí),直線ON恰好平分銳角∠AOC,求t;
(3)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3,使ON在∠AOC的內(nèi)部,請(qǐng)?zhí)骄浚骸螦OM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:直線ON平分∠AOC;

理由:

設(shè)ON的反向延長(zhǎng)線為OD,

∵OM平分∠BOC,

∴∠MOC=∠MOB=60°,

又∵OM⊥ON,

∴∠MON=90°,

∴∠BON=30°,

∴∠CON=120°+30°=150°,

∴∠COD=30°,

∴OD平分∠AOC,

即直線ON平分∠AOC


(2)解:由(1)可知∠BON=30°,∠DON=180°

因此ON旋轉(zhuǎn)60°或240°時(shí)直線ON平分∠AOC,

由題意得,6t=60°或240°,

∴t=10或40


(3)解:∵∠MON=90°,∠AOC=60°,

∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON,

∴∠AOM﹣∠NOC=(90°﹣∠AON)﹣(60°﹣∠AON)=30°


【解析】(1)由角的平分線的定義和等角的余角相等求解;(2)由∠BOC=120°可得∠AOC=60°,則∠AON=30°或∠NOR=30°,即順時(shí)針旋轉(zhuǎn)300°或120°時(shí)ON平分∠AOC,據(jù)此求解;(3)因?yàn)椤螹ON=90°,∠AOC=60°,所以∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON,然后作差即可.
【考點(diǎn)精析】掌握角的平分線和余角和補(bǔ)角的特征是解答本題的根本,需要知道從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線,把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角,這條射線叫做這個(gè)角的平分線;互余、互補(bǔ)是指兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系,與兩個(gè)角的位置無(wú)關(guān).

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A.20(1+2x)=80
B.2×20(1+x)=80
C.20(1+x2)=80
D.20(1+x)2=80

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(1)若笑臉氣球的單價(jià)是x元,請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示第②束、第③束氣球的總價(jià)格;(要求化簡(jiǎn)后,填在圖形中)
(2)若第②束氣球的總價(jià)錢比第③束氣球的總價(jià)錢少2元,求這兩種類的氣球的單價(jià).

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(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍;

(2)顧客一次性購(gòu)買多少件時(shí),該網(wǎng)店從中獲利最多?

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