Question

如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，∠AOB=110°，∠BOC=a．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，則△ADC≌△BOC，連接OD．
（1）求證：△COD是等邊三角形；
（2）當(dāng)α=120°時，試判斷AD與OC的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）探究：當(dāng)a為多少度時，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出CO=CD，∠DCO=60°，根據(jù)等邊三角形的判定推出即可．
（2）求出∠ADO=∠COD=60°，根據(jù)平行線的判定推出即可．
（3）用∠α表示∠ADO、∠AOD、∠DAO，分為三種情況：①∠ADO=∠AOD，②∠ADO=∠OAD，③∠OAD=∠AOD，代入求出即可．

解答：證明：（1）∵△ADC≌△BOC，
∴CO=CD，
∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，
∴∠DCO=60°，
∴△COD是等邊三角形．

（2）解：AD∥OC，
理由是：∵△DOC是等邊三角形，
∴∠CDO=∠DOC=60°，
∵∠α=120°，△COB≌△CDA，
∴∠ADC=∠COB=120°，
∴∠ADO=120°-60°=60°，
∴∠ADO=∠DOC=60°，
∴AD∥OC．

（3）解：∠AOD=360°-∠AOB-∠α-∠COD=360°-110°-∠α-60°=190°-∠α，
∠ADO=∠ADC-∠CDO=∠α-60°，
∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（∠α-60°）-（190°-∠α）=50°，
若∠ADO=∠AOD，即∠α-60°=190°-∠α，
解得：∠α=125°；
若∠ADO=∠OAD，則∠α-60°=50°，
解得：∠α=110°；
若∠OAD=∠AOD，即50°=190°-∠α，
解得：∠α=140°；
即當(dāng)a為125°或110°或140°時，△AOD是等腰三角形．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，用了分類討論思想．