Question

已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，點(diǎn)D是

ABC

的中點(diǎn)，弦DE⊥AB于點(diǎn)F，DE交AC于點(diǎn)G．
（1）如圖1，求證：∠BAC=∠OED；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作⊙O的切線(xiàn)交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H．若AF=3，F(xiàn)B=

4

3

，求cos∠DEH的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì),圓周角定理,解直角三角形

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）連接DO并延長(zhǎng)交AC于M點(diǎn)，如圖1，根據(jù)垂徑定理的推理由點(diǎn)D是

ABC

的中點(diǎn)得OM⊥AC，則∠AMO=90°，再由DE⊥AB得到∠OFD=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠A=∠D，而∠OED=∠D，所以∠BAC=∠OED；
（2）連接OE，如圖2，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得OE⊥EH，則∠OEF+∠DEH=90°，而∠OEF+∠FOE=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠FOE=∠DEH，再根據(jù)AF=3，F(xiàn)B=

4

3

可計(jì)算出直徑AB=

13

3

，則半徑OB=

1

2

AB=

13

6

，OF=

5

6

，在Rt△OEF中，根據(jù)余弦的定義得cos∠FOE=

OF

OE

=

5

13

，于是得到cos∠DEH=

5

13

．

解答：（1）證明：連接DO并延長(zhǎng)交AC于M點(diǎn)，如圖1，
∵點(diǎn)D是

ABC

的中點(diǎn)，
∴OM⊥AC，
∴∠AMO=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠OFD=90°，
而∠AOM=∠DOF，
∴∠A=∠D，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠D，
∴∠BAC=∠OED；
（2）解：連接OE，如圖2，
∵EH為⊙O的切線(xiàn)，
∴OE⊥EH，
∴∠OEF+∠DEH=90°，
而∠OEF+∠FOE=90°，
∴∠FOE=∠DEH，
∵AF=3，F(xiàn)B=

4

3

，
∴AB=AF+BF=

13

3

，
∴OB=

1

2

AB=

13

6

，
∴OF=OB-FB=

5

6

，
在Rt△OEF中，OE=

13

6

cos∠FOE=

OF

OE

=

5 6

13 6

=

5

13

，
∴cos∠DEH=

5

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理和解直角三角形．