Question

已知：如圖所示，關于x的拋物線y=ax²+x+c（a≠0）與x軸交于點A（-2，0）、點B（6，0），與y軸交于點C．
（1）求出此拋物線的解析式，并寫出頂點坐標；
（2）在拋物線上有一點D，使四邊形ABDC為等腰梯形，寫出點D的坐標，并求出直線AD的解析式；
（3）在（2）中的直線AD交拋物線的對稱軸于點M，拋物線上有一動點P，x軸上有一動點Q．是否存在以A、M、P、Q為頂點的平行四邊形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可將A，B兩點的坐標代入函數的解析式中，可求出拋物線的解析式．進而求出對稱軸的解析式和定點的坐標；
（2）由于二次函數和等腰梯形都是軸對稱圖形，可根據拋物線的對稱軸和C點的坐標求出D的坐標．然后用待定系數法求出A，D所在直線的解析式．


（3）分五種情況進行討論：
①如圖1，P與M的縱坐標相等，可將M的縱坐標代入拋物線中求出P的坐標，然后可根據M，P的橫坐標求出MP的長，即AQ的長，然后根據A的坐標即可求出Q的坐標．
②如圖2，方法同①．
③如圖3，根據平行四邊形的對稱性，那么M，P的縱坐標互為相反數，因此可求出P的坐標，可先在三角形AOM中求出AO的長，然后A到拋物線對稱軸的長+P的橫坐標=Q的橫坐標，據此可求出Q點的坐標．
④如圖4，可參照③的方法求出P的坐標，然后求出PA的長，即MQ的長，然后可過D作x軸的垂線，通過構建直角三角形求出OQ的長．進而得出Q的坐標．
⑤根據題意畫出圖形，即可求出答案．

解答：解：（1）根據題意，得

4a-2+c=0 36a+6+c=0

，
解得

a=- 1 4 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

4

x2+x+3，
頂點坐標是（2，4）；

（2）D（4，3），
設直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線經過點A（-2，0）、點D（4，3），
∴

-2k+b=0 4k+b=3

，
∴

k= 1 2 b=1

，
∴y=

1

2

x+1；

（3）存在．
①如圖1，P與M的縱坐標相等，可將M的縱坐標代入拋物線中求出P的坐標，然后可根據M，P的橫坐標求出MP的長，即AQ的長，然后根據A的坐標即可求出Q的坐標：Q₁（2

2

-2，0）；
②如圖2，方法同①，Q₂（-2

2

-2，0）；
③如圖3，根據平行四邊形的對稱性，那么M，P的縱坐標互為相反數，因此可求出P的坐標，可先在三角形AOM中求出AO的長，然后A到拋物線對稱軸的長+P的橫坐標=Q的橫坐標，據此可求出Q點的坐標：Q₃（6-2

6

，0）；
④如圖4，可參照③的方法求出P的坐標，然后求出PA的長，即MQ的長，然后可過D作x軸的垂線，通過構建直角三角形求出OQ的長．進而得出Q的坐標：Q₄（6+2

6

，0）．
⑤以AM為對角線時，把x=2代入y=

1

2

x+1得y=2，
即M的坐標是（2，2），
過M作x軸的平行線交拋物線與P₅、P₆，
則這兩點的縱坐標是2，
把y=2代入y=-

1

4

x²+x+3得：y=-

1

4

x²+x+3=2，
解得：x=2±2

2

，
即P₅（2-2

2

，2），P₆（2+2

2

，2），
∴Q₅的坐標是（2

2

-2，0），Q₆的坐標是（-2-2

2

，0）．
綜上所述：Q₁（2

2

-2，0），Q₂（-2

2

-2，0），Q₃（6-2

6

，0），Q₄（6+2

6

，0）．

點評：本題主要考查了二次函數的相關知識，（1）（2）比較簡單，要注意的是（3）中要把所有的情況都考慮到不要漏解．