Question

已知：拋物線與x軸交于
點(diǎn)A(x₁，0)、B(x₂，0)，且x₁＜1＜x₂．
【小題1】求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)(用a表示)；
【小題2】設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為C，求△ABC的面積；
【小題3】若a是整數(shù)，P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P點(diǎn)與A、B兩點(diǎn)不重合)，
在x軸上方作等邊△APM和等邊△BPN，記線段MN的中點(diǎn)為Q，求拋物線的
解析式及線段PQ的長的取值范圍．

Answer 1

【小題1】∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A(x₁，0)、B(x₂，0)，
∴x₁、x₂是關(guān)于x的方程的解．
方程可簡化為x²＋2(a－1)x＋(a²－2a)＝0．
解方程，得x＝－a或x＝－a＋2．
∵x₁＜x₂，－a＜－a＋2，
∴x₁＝－a，x₂＝－a＋2．
∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－a，0)，B(－a＋2，0)．
【小題2】∵AB＝2，頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為 
∴△ABC的面積等于
【小題3】x₁＜1＜x₂， ∴－a＜1＜－a＋2．
∴－1＜a＜1．
∵a是整數(shù)，
∴a＝0，所求拋物線的解析式為y＝
解法一：此時(shí)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為
如圖，作CD⊥AB于D，連結(jié)CQ．

則AD＝1，
∴∠BAC＝60°．
由拋物線的對(duì)稱性可知△ABC是等邊三角形．
由△APM和△BPN是等邊三角形，線段MN的中點(diǎn)為Q可得，
點(diǎn)M、N分別在AC和BC邊上，四邊形PMCN為平行四邊形，
C、Q、P三點(diǎn)共線，且
∵點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)的過程中，P與A、B兩點(diǎn)不重合，


解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x，0)(0＜x＜2)．
如圖，作MM₁⊥AB于M₁，NN₁⊥AB于N₁．

∵△APM和△BPN是等邊三角形，且都在x軸上方，
∴AM＝AP＝x，BN＝BP＝2－x，
∠MAP＝60°，∠NBP＝60°．





∴M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
可得線段MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
由勾股定理得
∵點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)的過程中，P與A、B兩點(diǎn)不重合，0＜x＜2，

解析