Question

如圖，現(xiàn)有一橫截面是一拋物線的水渠．一次，水渠管理員將一根長(zhǎng)1.5m的標(biāo)桿一端放在水渠底部的A點(diǎn)，另一端露出水面并靠在水渠邊緣的B點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)標(biāo)桿有1m浸沒(méi)在水中，露出水面部分的標(biāo)桿與水面成30°的夾角（標(biāo)桿與拋物線的橫截面在同一平面內(nèi)）．
（1）以水面所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求該水渠橫截面拋物線的解析式（結(jié)果保留根號(hào)）；
（2）在（1）的條件下，求當(dāng)水面再上升0.3m時(shí)的水面寬約為多少（

5

取2.2，結(jié)果精確到0.1m）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所建坐標(biāo)系，設(shè)解析式為頂點(diǎn)式．因此需求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)和點(diǎn)B的坐標(biāo)．設(shè)AB與x軸交于C點(diǎn)，可知AC=1m，BC=0.5m．作BD⊥x軸于點(diǎn)D．通過(guò)解Rt△AOC和Rt△BCD求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．
（2）運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)結(jié)合解方程求解．

解答：解：（1）設(shè)AB與x軸交于C點(diǎn)，可知AC=1m，BC=0.5m．
作BD⊥x軸于點(diǎn)D．
則OA=0.5m，OC=

3

2

m，
BD=

1

4

m，CD=

3

4

m，
故A（0，-

1

2

）；
B（

3 3

4

，

1

4

）．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²-

1

2

．
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得a=

4

9

，
因而y=

4

9

x²-

1

2

．

（2）當(dāng)水面上升0.3m時(shí)，
此時(shí)y=0.3，代入可得

4

9

x2-

1

2

=0.3，
解得x=±

3 5

5

．
故此時(shí)水面寬為

6 5

5

m，約為2.6m．

點(diǎn)評(píng)：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想，是解決實(shí)際問(wèn)題的常用有效手段．如何建模需認(rèn)真斟酌．