Question

（2008•達(dá)州）如圖，將△AOB置于平面直角坐標(biāo)系中，其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），∠ABO=60度．
（1）若△AOB的外接圓與y軸交于點(diǎn)D，求D點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0），試猜想過D，C的直線與△AOB的外接圓的位置關(guān)系，并加以說明．
（3）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)O和A且頂點(diǎn)在圓上，求此函數(shù)的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）∠ABO=60°則∠ADO=60°，在直角△AOD中，根據(jù)三角函數(shù)就可以求出OD的長，則可以求出D的坐標(biāo)．
（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0），在直角△CDO中，根據(jù)三角函數(shù)就可以求出∠CDO的度數(shù)．進(jìn)而得到∠CDA的度數(shù)．從而判斷過D，C的直線與△AOB的外接圓的位置關(guān)系．
（3）函數(shù)經(jīng)過O，A兩點(diǎn)，因而對(duì)稱軸是OA的垂直平分線與圓的交點(diǎn)，過交點(diǎn)作OA的垂線，利用三角函數(shù)，就可以求出OA的垂直平分線與圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)的解析式．
解答：解：（1）連接AD，則∠ADO=∠B=60°，
在Rt△ADO中，∠ADO=60°，
所以O(shè)D=OA÷=3÷=，
所以D點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，）；

（2）猜想：CD與圓相切，
∵∠AOD是直角，
∴AD是圓的直徑，
又∵tan∠CDO===，∠CDO=30°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=90°，即CD⊥AD，
∴CD切外接圓于點(diǎn)D；

（3）依題意可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：
y=α（x-0）（x-3），
由此得頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為：x==；
即頂點(diǎn)在OA的垂直平分線上，作OA的垂直平分線EF，
則得∠EFA=∠B=30°，
即得到EF=EA=可得一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
同理可得另一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
分別將兩頂點(diǎn)代入y=α（x-0）（x-3）
可解得α的值分別為，，
則得到二次函數(shù)的解析式是y=x（x-3）或y=x（x-3）．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)與圓相結(jié)合的題目，主要考查了切線的判定方法，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．