Question

（2002•東城區(qū)）已知如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一，二，三象限，且與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OB=，tan∠DOB=
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，△ABO的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）當(dāng)△OCD的面積等于，試判斷過A、B兩點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)能否等于3？如果能，求此時(shí)拋物線的解析式；如果不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)tan∠DOB=可知Rt△OHB中兩直角邊的比，又因?yàn)镺B=10，所以可根據(jù)勾股定理求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出解析式；
（2）已知A點(diǎn)橫坐標(biāo)m，代入反比例函數(shù)解析式，可求出A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)OB=和tan∠DOB=，可利用勾股定理求出B點(diǎn)坐標(biāo)；
把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)y=k₂x+b的解析式，解方程組得到k₂和b的值（用m表示），然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，即得出OC的長(zhǎng)，再求出以O(shè)C為底邊，以A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為高的兩個(gè)三角形△OCA和△COB的面積之和；
（3）設(shè)出拋物線解析式，將B（-3，-1），A（1，3）分別代入解析式，求出b的值以及a、c的關(guān)系式，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解答．
解答：解：（1）過點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H，在Rt△OHB中，
∵tan∠HOB==，
∴HO=3BH，
由勾股定理得，BH²+HO²=OB²，
又∵OB=，
∴BH²+（3BH）²=（）²，
∵BH＞0，
∴BH=1，HO=3，
∴點(diǎn)B（-3，-1），
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=（k₁≠0），
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，∴k₁=3，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=．

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=k₂x+b（k₂≠0），由點(diǎn)A在第一象限，得m＞0，
又有點(diǎn)A在函數(shù)y=的圖象上，可求得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為（m，）．
因?yàn)閠an∠DOB=，OB=，
設(shè)BH=a，則HO=3a，
于是根據(jù)勾股定理，a²+9a²=10，
解得a=±1，
則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-1）．
把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入解析式得：，
解得k=，b=，
函數(shù)解析式為y=x+，
得C（0，）．
于是S=（m+3）×=，
于是0＜m＜3．

（3）A、B兩點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)能等于3，
設(shè)過B（-3，-1），A（1，3）的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
可得，
解得b=2a+1，c=2-3a，
又因?yàn)锳、B兩點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)等于3，
所以設(shè)A（x₁，0），（x₂，0），x₂＞x₁，
可得x₂-x₁=3，兩邊平方得（x₂+x₁）²-4x₁x₂=9，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系（-）²-4•=9，將c=2-3a，b=2a+1代入，
得16a²-13a+1=0，
a=，
當(dāng)a=時(shí)，b=2a+1=，c=；
當(dāng)a=時(shí)，b=，c=
即A、B兩點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)能等于3，
函數(shù)的解析式是y=x²+x+或y=x²+x+．
點(diǎn)評(píng)：此題將一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)結(jié)合起來，有很強(qiáng)的綜合性．根據(jù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)能求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答．