Question

（1997•陜西）已知關(guān)于x的方程（m-1）x²+2mx-1=0有正實(shí)數(shù)根，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析：討論：當(dāng)m-1=0，即m=1時(shí)，可解得x=

1

2

；當(dāng)m-1≠0，即m≠1，設(shè)方程的兩實(shí)數(shù)根為x₁，x₂，根據(jù)根的判別式得到△=4m²-4（m-1）×（-1）≥0，可解得x≤

-1- 5

2

或x≥

-1+ 5

2

；
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-

2m

m-1

＞0，x₁•x₂=-

1

m-1

＞0，由于m-1＜0，則2m＞0，于是0＜m＜1，然后縱綜合兩種情況即可得到m的范圍．

解答：解：當(dāng)m-1=0，即m=1時(shí)，方程變形為2x-1=0，解得x=

1

2

；
當(dāng)m-1≠0，即m≠1，
設(shè)方程的兩實(shí)數(shù)根為x₁，x₂，
根據(jù)題意得△=4m²-4（m-1）×（-1）≥0，即m²+m-1≥0，解得x≤

-1- 5

2

或x≥

-1+ 5

2

；
x₁+x₂=-

2m

m-1

＞0，x₁•x₂=-

1

m-1

＞0，
∴m-1＜0，
∴2m＞0，
∴0＜m＜1，
∴當(dāng)

-1+ 5

2

≤x＜1時(shí)，方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，
綜上述，m的范圍為

-1+ 5

2

≤x≤1．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．