如圖,將含30°角的直角三角板ABC(∠A=30°)繞其直角頂點C順時針旋轉α角(0°<α<90°),得到Rt△A′B′C,A′C與AB交于點D,過點D作DE∥A′B′交CB′于點E,連接BE.易知,在旋轉過程中,△BDE為直角三角形.設BC=1,AD=x,△BDE的面積為S.
(1)當α=30°時,求x的值.
(2)求S與x的函數(shù)關系式,并寫出x的取值范圍;
(3)以點E為圓心,BE為半徑作⊙E,當S=時,判斷⊙E與A′C的位置關系,并求相應的tanα值.

【答案】分析:(1)根據(jù)等腰三角形的判定,∠A=∠α=30°,得出x=1;
(2)由直角三角形的性質,AB=2,AC=,由旋轉性質求得△ADC∽△BCE,根據(jù)比例關系式,求出S與x的函數(shù)關系式;
(3)當S=時,求得x的值,判斷⊙E和DE的長度大小,確定⊙E與A′C的位置關系,再求tanα值.
解答:解:(1)∵∠A=a=30°,
又∵∠ACB=90°,
∴∠ABC=∠BCD=60°.
∴AD=BD=BC=1.
∴x=1;

(2)∵∠DBE=90°,∠ABC=60°,
∴∠A=∠CBE=30°.
∴AC=BC=,AB=2BC=2.
由旋轉性質可知:AC=A′C,BC=B′C,
∠ACD=∠BCE,
∴△ADC∽△BEC,
=,
∴BE=x.
∵BD=2-x,
∴s=×x(2-x)=-x2+x.(0<x<2)

(3)∵s=s△ABC
∴-+=
∴4x2-8x+3=0,
,
①當x=時,BD=2-=,BE=×=
∴DE==
∵DE∥A′B′,
∴∠EDC=∠A′=∠A=30°.
∴EC=DE=>BE,
∴此時⊙E與A′C相離.
過D作DF⊥AC于F,則,

.                                       (12分)
②當時,,

,
∴此時⊙E與A'C相交.                                    
同理可求出
點評:本題考查的知識點:等腰三角形的判定,直角三角形的性質,相似三角形的判定以及直線與圓的位置關系的確定,是一道綜合性較強的題目,難度大.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,將含30°角的直角三角板ABC(∠B=30°)繞其直角頂點A逆時針旋轉α解(0°<α<90°),得到Rt△ADE,AD與BC相交于點M,過點M作MN∥DE交AE于點N,連接NC.設BC=4,BM=x,△MNC的面積為S△MN精英家教網(wǎng)C,△ABC的面積為S△ABC
(1)求證:△MNC是直角三角形;
(2)試求用x表示S△MNC的函數(shù)關系式,并寫出x的取值范圍;
(3)以點N為圓心,NC為半徑作⊙N,
①當直線AD與⊙N相切時,試探求S△MNC與S△ABC之間的關系;
②當S△MNC=
14
S△ABC時,試判斷直線AD與⊙N的位置關系,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,將含30°角的直角三角板ABC(∠A=30°)繞其直角頂點C順時針旋轉α角(0°<α<90°),得到Rt△A′B′C,A′C與AB交于點D,過點D作DE∥A′B′精英家教網(wǎng)交CB′于點E,連接BE.易知,在旋轉過程中,△BDE為直角三角形.設BC=1,AD=x,△BDE的面積為S.
(1)當α=30°時,求x的值.
(2)求S與x的函數(shù)關系式,并寫出x的取值范圍;
(3)以點E為圓心,BE為半徑作⊙E,當S=
14
S△ABC
時,判斷⊙E與A′C的位置關系,并求相應的tanα值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,將含30°角的直角三角板ABC(∠A=30°)繞其直角頂點C順時針旋轉α角(0°<α<90°),得到Rt△A′B′C,A′C與AB交于點D,過點D作DE∥A′B′交CB′于點E,連接BE.易知,在旋轉過程中,△BDE為直角三角形.設BC=1,AD=x,△BDE的面積為S.
(1)當α=30°時,求x的值.
(2)求S與x的函數(shù)關系式,并寫出x的取值范圍;
(3)以點E為圓心,BE為半徑作⊙E,當S=數(shù)學公式時,判斷⊙E與A′C的位置關系,并求相應的tanα值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:2010年全國中考數(shù)學試題匯編《三角形》(19)(解析版) 題型:解答題

(2010•龍巖質檢)如圖,將含30°角的直角三角板ABC(∠A=30°)繞其直角頂點C順時針旋轉α角(0°<α<90°),得到Rt△A′B′C,A′C與AB交于點D,過點D作DE∥A′B′交CB′于點E,連接BE.易知,在旋轉過程中,△BDE為直角三角形.設BC=1,AD=x,△BDE的面積為S.
(1)當α=30°時,求x的值.
(2)求S與x的函數(shù)關系式,并寫出x的取值范圍;
(3)以點E為圓心,BE為半徑作⊙E,當S=時,判斷⊙E與A′C的位置關系,并求相應的tanα值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:2010年福建省龍巖市初中學業(yè)質量檢查數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

(2010•龍巖質檢)如圖,將含30°角的直角三角板ABC(∠A=30°)繞其直角頂點C順時針旋轉α角(0°<α<90°),得到Rt△A′B′C,A′C與AB交于點D,過點D作DE∥A′B′交CB′于點E,連接BE.易知,在旋轉過程中,△BDE為直角三角形.設BC=1,AD=x,△BDE的面積為S.
(1)當α=30°時,求x的值.
(2)求S與x的函數(shù)關系式,并寫出x的取值范圍;
(3)以點E為圓心,BE為半徑作⊙E,當S=時,判斷⊙E與A′C的位置關系,并求相應的tanα值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案