(2012•房山區(qū)一模)已知點(diǎn)A(1,
1
2
)在拋物線y=
1
3
x2+bx+c上,點(diǎn)F(-
1
2
1
2
)在它的對(duì)稱軸上,點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式;
(2)判斷是否存在直線l,使得線段PF的長(zhǎng)總是等于點(diǎn)P到直線l的距離,需說明理由.
(3)設(shè)直線PF與拋物線的另一交點(diǎn)為Q,探究:PF和QF這兩條線段的倒數(shù)和是否為定值?證明你的結(jié)論.
分析:(1)根據(jù)對(duì)稱軸為x=-
b
2a
=-
1
2
和a=
1
3
求得b值,然后把求得的b值和點(diǎn)A點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=
1
3
x2+bx+c,可求得c值,從而得到二次函數(shù)的解析式.
(2)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),表示出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y0=
1
3
x02+
1
3
x0-
1
6
.作PM⊥AF于M,利用勾股定理PF2=PM2+MF2進(jìn)一步得到PF=y0+1.根據(jù)當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)(0,-1)且與x軸平行時(shí),y0+1即為點(diǎn)P到直線l的距離,從而得到結(jié)論.
(3)分當(dāng)PF∥x軸時(shí),利用PF=QF=
3
2
求得
1
PF
+
1
QF
=
4
3
和當(dāng)PF與x軸不平行時(shí),作QN⊥AF于N,利用△MFP∽△NFQ根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等求得
1
PF
+
1
QF
=
4
3
,從而得到結(jié)論.
解答:(1)解:由-
b
2a
=-
1
2
,a=
1
3
,得b=
1
3
…(1分)
把b=
1
3
和點(diǎn)A(1,
1
2
)代入y=
1
3
x2+bx+c,可求得c=-
1
6

故這條拋物線的解析式是y=
1
3
x2+
1
3
x-
1
6
.…(2分)

(2)解:設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則y0=
1
3
x02+
1
3
x0-
1
6

作PM⊥AF于M,得 
PF2=PM2+MF2=(x0+
1
2
2+(y0-
1
2
2
又∵y0=
1
3
x02+
1
3
x0-
1
6

=
1
3
(x0+
1
2
2-
1
4

∴(x0+
1
2
2=3y0+
3
4

∴PF2=3y0+
3
4
+y02-y0+
1
4
=( y0+1)2
易知y0≥-
1
4
,y0+1>0.∴PF=y0+1.…(4分)
又∵當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)(0,-1)且與x軸平行時(shí),
y0+1即為點(diǎn)P到直線l的距離.
∴存在符合題意的直線l.…(5分)

(3)是定值.
證明:當(dāng)PF∥x軸時(shí),PF=QF=
3
2
,
1
PF
+
1
QF
=
4
3
.…(6分)
當(dāng)PF與x軸不平行時(shí),作QN⊥AF于N,
∵△MFP∽△NFQ,
PM
PF
=
QN
QF

再依據(jù)第(2)小題的結(jié)果,可得
PF-
3
2
PF
=
3
2
-QF
QF
.…(7分)
整理上式,得 
1
PF
+
1
QF
=
4
3
.…(8分)
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較多,難度比較大,是中考中的壓軸題.特別是存在性問題更是近幾年中考的高頻考點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2012•房山區(qū)一模)如圖,點(diǎn)F在線段AB上,AD∥BC,AC交DF于點(diǎn)E,∠BAC=∠ADF,AE=BC.
求證:△ACD是等腰三角形.

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(2012•房山區(qū)一模)計(jì)算:(
1
5
)-1
-4cos45°+|1-
2
|
-(-2012)0

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•房山區(qū)一模)如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=
5
,以點(diǎn)B為圓心,以
2
為半徑作圓.
(1)設(shè)點(diǎn)P為⊙B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段CP繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CD,連接DA,DB,PB,如圖2.求證:AD=BP;
(2)在(1)的條件下,若∠CPB=135°,則BD=
2
2
或2
2
2
或2
;
(3)在(1)的條件下,當(dāng)∠PBC=
135
135
° 時(shí),BD有最大值,且最大值為
10
+
2
10
+
2
;當(dāng)∠PBC=
45
45
° 時(shí),BD有最小值,且最小值為
10
-
2
10
-
2

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