Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，O是對角線AC與BD的交點，M是BC邊上的動點（點M不與B，C重合），CN⊥DM，CN與AB交于點N，連接OM，ON，MN．下列五個結論：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，則S△OMN的最小值是 ，其中正確結論的個數(shù)是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°， ∴∠BCN+∠DCN=90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN=90°，
∴∠BCN=∠CDM，
又∵∠CBN=∠DCM=90°，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正確；
根據(jù)△CNB≌△DMC，可得CM=BN，
又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM=ON，∠COM=∠BON，
∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，
又∵DO=CO，
∴△CON≌△DOM（SAS），故②正確；
∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，
∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴△OMN∽△OAD，故③正確；
∵AB=BC，CM=BN，
∴BM=AN，
又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2 ，
∴AN2+CM2=MN2 ， 故④正確；
∵△OCM≌△OBN，
∴四邊形BMON的面積=△BOC的面積=1，即四邊形BMON的面積是定值1，
∴當△MNB的面積最大時，△MNO的面積最小，
設BN=x=CM，則BM=2﹣x，
∴△MNB的面積= x（2﹣x）=﹣ x2+x，
∴當x=1時，△MNB的面積有最大值 ，
此時S△OMN的最小值是1﹣ = ，故⑤正確；
綜上所述，正確結論的個數(shù)是5個，
故選：D．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正方形的性質的相關知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．