Question

15．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象過A（6，0）、C（0，-3）．且拋物線的對稱軸為直線x=2，拋物線與x軸的另一個交點為B．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點F在第四象限的拋物線上，當(dāng)tan∠FAC=$\frac{1}{2}$時，求點F的坐標(biāo)．
（3）若點P在第四象限的拋物線，且滿足△PAC和△PBC的面積相等．是否能在拋物線上找點Q，使得∠PAQ=∠CAO，求點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先由二次函數(shù)的對稱性得出點B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；
（2）作輔助線，構(gòu)建矩形AODM，根據(jù)已知的tan∠FAC=$\frac{1}{2}$得出$\frac{CE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，證△CDE∽△EMA求出點E的坐標(biāo)，求出直線AE的解析式，利用方程組求二次函數(shù)和一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，寫出點F的坐標(biāo)．
（3）拋物線上取一點Q，使∠PAQ=∠CAO，直線AQ與y軸交于點M，作輔助線構(gòu)建直角三角形與△ACO相似，求出AN、CN、PN，并求出點M的坐標(biāo)，及直線AM的解析式，直線AM與拋物線的交點就是點A和點Q，列方程組解出即可．

解答 解：（1）由二次函數(shù)的對稱性得：B（-2，0），
把A（6，0）、B（-2，0）、C（0，-3）代入y=ax²+bx+c中得：
$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b+c=0}\\{4a-2b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$   解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{4}$x²-x-3；
（2）連接AF并延長，過點C作CE⊥AF，垂足為E，過E作DM⊥y軸，過點A作AM⊥x軸，構(gòu)建矩形AODM，
當(dāng)tan∠FAC=$\frac{1}{2}$時，則$\frac{CE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∵點F在第四象限的拋物線上，
∴設(shè)DE=a，CD=b，
∵∠AEC=90°，
∴∠CED+∠AEM=90°，
∵∠CED+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠AEM，
∵∠CDE=∠AEM，
∴△CDE∽△EMA，
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{DE}{AM}=\frac{CD}{EM}$=$\frac{1}{2}$，
則AM=2a，EM=2b，
由矩形的性質(zhì)得：$\left\{\begin{array}{l}{a+2b=6}\\{2a-b=3}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{12}{5}}\\{b=\frac{9}{5}}\end{array}\right.$
∴E（$\frac{12}{5}$，$-\frac{24}{5}$），
則直線AE的解析式為：y=$\frac{4}{3}$x-8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x-8}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-x-3}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=6}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{10}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{32}{9}}\end{array}\right.$，
∴F（$\frac{10}{3}$，-$\frac{32}{9}$）
（3）過C作x軸的平行線交拋物線于點p，
則△PAC和△PBC的面積相等，
∵C（0，-3），拋物線對稱軸為x=2，
∴P（4，-3），CP=4，
過P作PN⊥AC，垂足為N，
則△CPN∽△ACO，
得PN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，CN=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴AN=AC-CN=3$\sqrt{5}$-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$，
∵∠CAO=∠PAM，
∴∠MAO=∠PAN，
∴△PNA∽△MOA，
得：$\frac{PN}{MO}=\frac{AN}{OA}$，$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{MO}=\frac{\frac{7\sqrt{5}}{5}}{6}$，MO=$\frac{24}{7}$，
∴M（0，-$\frac{24}{7}$）得直線AM解析式為：y=$\frac{4}{7}$x-$\frac{24}{7}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{7}x-\frac{24}{7}}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-x-3}\end{array}\right.$  解得x₁=$\frac{2}{7}$，x₂=6，
當(dāng)x₁=$\frac{2}{7}$時，y=-$\frac{160}{49}$，
∴Q（$\frac{2}{7}$，-$\frac{160}{49}$）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合問題，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，把函數(shù)和矩形相結(jié)合，考查了矩形的性質(zhì)和判定；利用方程組的解求兩函數(shù)的交點坐標(biāo)，這是常考題型，要熟練掌握．本題（3）除了利用相似外，還可以構(gòu)建如圖1所示的矩形求解．