Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=4，AD=3，動(dòng)點(diǎn)M從D點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位／秒的速度沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從A點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位／秒的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)結(jié)束．過(guò)點(diǎn)N作NP⊥AB，交AC于點(diǎn)P₁連結(jié)MP．已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出PN的長(zhǎng)；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）試求△MPA的面積S與時(shí)間x秒的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；
（3）在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△MPA能否為一個(gè)等腰三角形．若能，求出所有x的對(duì)應(yīng)值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）PN=．
（2）過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AD交AD于點(diǎn)Q． 可知PQ=AN=2x．
依題意，可得AM=3-x．
∴S=·AM·PQ=·(3-x)·2x=-x²+3x=-．
自變量x的取值范圍是：0＜x≤2．
∴當(dāng)x=時(shí)，S有最大值，S_最大值=．
（3）△MPA能成為等腰三角形，共有三種情況，以下分類說(shuō)明：
①若PM=PA， ∵PQ⊥AD，∴MQ=QA=PN=．
又DM+MQ+QA=AD ∴4x=3，即x=．
②若MP=AM， MQ=AD-AQ-DM=3-，PQ=2x，MP=MA=3-x．
在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP²=MQ²+PQ²．
∴(3-x)²=(3-)²+(2x)²．
解得x=，x=0（不合題意，舍去）
③若AP=AM， 由題意可求AP=，AM=3-x．
∴=3-x．解得x=．
綜上所述，當(dāng)x=，或x=，或x=時(shí)，△MPA是等腰三角形．