Question

如圖，拋物線y=x²+bx－2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（一1，0）．

⑴求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

⑵判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；

⑶點(diǎn)M(m，0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CM+DM的值最小時(shí)，求m的值．

 

Answer 1

（1）∵點(diǎn)A（-1，0）在拋物線y=x2 + bx-2上，∴× (-1 )2 + b× (-1) –2 = 0，解得b =

∴拋物線的解析式為y=x2-x-2. y=x2-x-2 = ( x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 (, -).

（2）當(dāng)x = 0時(shí)y = -2,       ∴C（0，-2），OC = 2。

當(dāng)y = 0時(shí)，  x2-x-2 = 0，      ∴x1 = -1, x2 = 4,     ∴B (4,0)

∴OA = 1,    OB = 4,    AB = 5.

∵AB2 = 25,    AC2 = OA2 + OC2 = 5,    BC2 = OC2 + OB2 = 20,

∴AC2 +BC2 = AB2.                ∴△ABC是直角三角形.

（3）作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′，則C′（0，2），OC′=2，連接C′D交x軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC + MD的值最小。

解法一：設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)E.

∵ED∥y軸, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM

∴△C′OM∽△DEM.

∴

∴，∴m =．

解法二：設(shè)直線C′D的解析式為y = kx + n ,

則，解得n = 2,  .

∴ .

∴當(dāng)y = 0時(shí)， ，

 .     ∴.