Question

我們常用各種多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案，也就是說，使用給定的某些多邊形，能夠拼成一個(gè)平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊（在幾何里稱為平面密鋪）．當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角和為360°時(shí)，就能夠拼成一個(gè)平面圖形．
探究用同一種正多邊形進(jìn)行平面密鋪．
例如：如圖1，用三個(gè)同種類型（大小一樣、形狀相同）的正六邊形地磚可以平面密鋪．
（1）請問僅限于同一種類型的多邊形進(jìn)行密鋪，哪幾種能平面密鋪？

①②

（填序號）；
①正三角形    ②正四邊形     ③正五邊形     ④正八邊形
探究用兩種邊長相等的正多邊形進(jìn)行平面密鋪．
例如：如圖2，二個(gè)正三角形和二個(gè)正六邊形可以平面密鋪．
（2）限用兩種邊長相等的正多邊形進(jìn)行平面密鋪，以下哪幾種是可行的？

ABE

A．正三角形和正方形      B．正方形和正八邊形         C．正方形和正五邊形
D．正八邊形和正六邊形    E．正三角形和正十二邊形    F．正三角形和正五邊形
（3）繼續(xù)推廣到用三種不同的正多邊形進(jìn)行平面密鋪，請寫出符合題意的不同組合．
例如：①正三角形、正方形、正六邊形；
②正三角形、正九邊形、正十八邊形；
③

正三角形、正四邊形，正十二邊形

；
④

正三角形，正十邊形，正十五邊形

．
（4）如果用形狀，大小相同的如圖3方格紙中的三角形，能進(jìn)行平面密鋪嗎？若能，請?jiān)诜礁窦堉挟嫵雒茕伒脑O(shè)計(jì)圖．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°，正方形的每個(gè)內(nèi)角是90°，能進(jìn)行密鋪，說明一個(gè)頂點(diǎn)處的各內(nèi)角之和為360°；
（2）分別求出各個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再結(jié)合鑲嵌的條件即可作出判斷．
（3）利用任意圖形一個(gè)頂點(diǎn)處的各內(nèi)角之和為360°得出答案即可；
（4）任意三角形的內(nèi)角和是180°，放在同一頂點(diǎn)處6個(gè)即能密鋪，即每個(gè)角放在同一頂點(diǎn)處使用2次．

解答：解：（1）根據(jù)正四邊形每個(gè)內(nèi)角為90度，能整除360度，能密鋪；
正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°，能整除360°，能密鋪．
故答案為：①②；

（2）正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°，正方形的每個(gè)內(nèi)角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，能密鋪．
正八邊形的每個(gè)內(nèi)角是135°，正方形的每個(gè)內(nèi)角是90°，∵2×135°+90°=360°，能密鋪．
正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°，正十二邊形的每個(gè)內(nèi)角是150°，∵60°+2×150°=360°，能密鋪．
故ABE可以進(jìn)行平面鑲嵌；
故答案為：ABE．

（3）正三角形、正四邊形，正十二邊形；  正三角形，正十邊形，正十五邊形；
正四邊形，正六邊形，正十二邊形；  正四邊形，正五邊形，正二十邊形；
正三角形，正八邊形，正二十四邊形；正三角形，正七邊形，正四十二邊形，
（寫出二個(gè)，每個(gè)1分）

（4）如圖所示：
．

點(diǎn)評：此題主要考查了平面鑲嵌，兩種或兩種以上幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角．任意多邊形能進(jìn)行鑲嵌，說明它的內(nèi)角和應(yīng)能整除360度．