【題目】如圖,拋物線與兩坐標(biāo)軸相交于點(diǎn),是拋物線的頂點(diǎn), 是線段的中點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式,并寫出點(diǎn)的坐標(biāo);
(2) 是拋物線上的動(dòng)點(diǎn);
①當(dāng)時(shí),求的面積的最大值;
②當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)y=-x2+2x+3,D(1,4); (2) ①當(dāng)x=2時(shí),S最大值=1;②F(-,-2-2)或(2-,-2+2)
【解析】(1)利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式,然后再配方成頂點(diǎn)式即可得點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)①由x>1,y>0,可以確定點(diǎn)F是直線BD上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn),F(x, -x2+2x+3),過點(diǎn)F作FH⊥x軸交直線BD于M,由B、D的坐標(biāo)易得yBD=-2x+6,繼而得M(x,-2x+6),從而得到FM=-(x-2)2+1,再根據(jù)S△BDF=S△DFM+S△BFM,從而可得S△BDF=-(x-2)2+1,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得;
②分點(diǎn)F在x軸上方拋物線上,點(diǎn)F在x軸下方、y軸左側(cè)拋物線上兩種情況進(jìn)行討論即可得.
(1)拋物線與兩坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)
由題意得:,解得:,
所以拋物線的解析式為:y=-x2+2x+3,
配方得 y=-(x-1)2+4,∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4);
(2) ①∵x>1,y>0,
∴點(diǎn)F是直線BD上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn),
則F(x, -x2+2x+3),
如圖,過點(diǎn)F作FH⊥x軸交直線BD于M,
∵B(3,0), D(1,4),
∴yBD=-2x+6,
則M(x,-2x+6),
∴FM=-x2+2x+3-(-2x+6)= -x2+4x-3=-(x-2)2+1,
∵S△BDF=S△DFM+S△BFM,
∴S△BDF=FM(x-1)+FM(3-x)=FM(x-1+3-x)=FM =-(x-2)2+1,
∴當(dāng)x=2時(shí),S最大值=1;
②如圖,當(dāng) FE∥BD,且點(diǎn)F在x軸上方拋物線上時(shí),
設(shè)FE的解析式為y=-2x+b,
∵直線FE過點(diǎn)E(1,0),
∴b=2,
yFE=-2x+2,
聯(lián)立y=-2x+2與y=-x2+2x+3,
解得F(2-,-2+2);
如圖,當(dāng)F在x軸下方、y軸左側(cè)拋物線上時(shí),設(shè)直線EF與直線BD交于點(diǎn)N,
∵∠AEF=∠NEB,
又∵∠AEF=∠
∴∠NEB=∠DBE,
∴NE=NB,
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2,
又∵點(diǎn)N在直線yBD=-2x+6上,
∴N(2,2),
∴yEN=2x-2,
聯(lián)立y=2x-2與y=-x2+2x+3,
解得F(-,-2-2),
綜上所述F(-,-2-2)或(2-,-2+2).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(9分)如圖,△ABC為等腰三角形,AC=BC,以邊BC為直徑的半圓與邊AB,AC分別交于D,E兩點(diǎn),過點(diǎn)D作DF⊥AC,垂足為點(diǎn)F.
(1)判斷DF與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)若BC=9,EF=1,求DF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知含字母a,b的代數(shù)式是:3[a2+2(b2+ab﹣2)]﹣3(a2+2b2)﹣4(ab﹣a﹣1)
(1)化簡(jiǎn)代數(shù)式;
(2)小紅取a,b互為倒數(shù)的一對(duì)數(shù)值代入化簡(jiǎn)的代數(shù)式中,恰好計(jì)算得代數(shù)式的值等于0,那么小紅所取的字母b的值等于多少?
(3)聰明的小剛從化簡(jiǎn)的代數(shù)式中發(fā)現(xiàn),只要字母b取一個(gè)固定的數(shù),無論字母a取何數(shù),代數(shù)式的值恒為一個(gè)不變的數(shù),那么小剛所取的字母b的值是多少呢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A、B分別為數(shù)軸上的兩點(diǎn),A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣20,B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為100.
(1)請(qǐng)寫出與A,B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的數(shù) .
(2)現(xiàn)有一只電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā),以6單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng),同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā),以4單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng),x秒后兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點(diǎn)相遇,請(qǐng)列方程求出x,并指出點(diǎn)C表示的數(shù).
(3)若當(dāng)電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā)時(shí),以6單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng),同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā),以4單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng),y秒后兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的D點(diǎn)相遇,請(qǐng)列方程求出y并指出點(diǎn)D表示的數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)P從(0,3)出發(fā),沿所示的方向運(yùn)動(dòng),每當(dāng)碰到矩形的邊時(shí)反彈,反彈時(shí)反射角等于入射角,當(dāng)點(diǎn)p第2019次碰到矩形的邊時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為( 。
A. ( 1,4 )B. ( 5,0 )C. ( 8,3 )D. ( 6,4 )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,某公園設(shè)計(jì)節(jié)日鮮花擺放方案,其中一個(gè)花壇由一批花盆堆成六角垛,頂層一個(gè),以下各層堆成六邊形,逐層每邊增加一個(gè)花盆,若這垛花盆底層最長(zhǎng)的一排共13個(gè)花盆,則底層的花盆的個(gè)數(shù)是( )
A.91B.127C.169D.255
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【題目】平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A是軸正半軸上一個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)P是函數(shù)(>0)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PB⊥軸于點(diǎn)B,連結(jié)PA,當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí),四邊形OAPB的面積將會(huì)( )
A. 逐漸增大 B. 先增后減 C. 逐漸減小 D. 先減后增
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩個(gè)三角板ABC,DEF按如圖所示的位置擺放,點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,邊AB與邊DE在同一條直線上(假設(shè)圖形中所有的點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi)),其中,∠C=∠DEF=90°,∠ABC=∠F=30°,AC=DE=4 cm.現(xiàn)固定三角板DEF,將三角板ABC沿射線DE方向平移,當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)三角板平移的距離為(cm),兩個(gè)三角板重疊部分的面積為 (cm2).
(1)當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí),=________cm;
(2)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并寫出自變量的取值范圍;
(3)設(shè)邊BC的中點(diǎn)為點(diǎn)M,邊DF的中點(diǎn)為點(diǎn)N,直接寫出在三角板平移過程中,點(diǎn)M與點(diǎn)N之間距離的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(2,0),B ( 2,0),C為 y 軸負(fù)半軸上一點(diǎn),D是第四象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且始終有BDA 2ACO 成立,過C 點(diǎn)作CE BD 于點(diǎn) E .
(1)求證:DAC DBC ;
(2)若點(diǎn) F 在 AD 的延長(zhǎng)線上,求證:CD 平分BDF ;
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