Question

12．如圖，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為E，且點E是OD的中點，⊙O的切線BM與AO的延長線相交于點M，連接AC，CM．
（1）若AB=4$\sqrt{3}$，求$\widehat{AB}$的長；（結(jié)果保留π）
（2）求證：四邊形ABMC是菱形．

Answer 1

分析 （1）連接OB，由E為OD中點，得到OE等于OA的一半，在直角三角形AOE中，得出∠OAB=30°，進而求出∠AOE與∠AOB的度數(shù)，設(shè)OA=x，利用勾股定理求出x的值，確定出圓的半徑，利用弧長公式即可求出$\widehat{AB}$的長；
（2）由第一問得到∠BAM=∠BMA，利用等角對等邊得到AB=MB，利用SAS得到三角形OCM與三角形OBM全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到CM=BM，等量代換得到CM=AB，再利用全等三角形對應(yīng)角相等及等量代換得到一對內(nèi)錯角相等，進而確定出CM與AB平行，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到ABMC為平行四邊形，最后由鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可得證．

解答 （1）解：∵OA=OB，E為AB的中點，
∴∠AOE=∠BOE，OE⊥AB，
∵OE⊥AB，E為OD中點，
∴OE=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$OA，
∴在Rt△AOE中，∠OAB=30°，∠AOE=60°，∠AOB=120°，
設(shè)OA=x，則OE=$\frac{1}{2}$x，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵AB=4$\sqrt{3}$，
∴AB=2AE=$\sqrt{3}$x=4$\sqrt{3}$，
解得：x=4，
則$\widehat{AB}$的長l=$\frac{120π×4}{180}$=$\frac{8π}{3}$；

（2）證明：由（1）得∠OAB=∠OBA=30°，∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°，
∴∠BAM=∠BMA=30°，
∴AB=BM，
∵BM為圓O的切線，
∴OB⊥BM，
在△COM和△BOM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=BO}\\{∠COM=∠BOM}\\{OM=OM}\end{array}\right.$，
∴△COM≌△BOM（SAS），
∴CM=BM，∠CMO=∠BMO=30°，
∴CM=AB，∠CMO=∠MAB，
∴CM∥AB，
∴四邊形ABMC為菱形．

點評 此題考查了切線的性質(zhì)，菱形的判斷，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及弧長公式，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．